КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Функции и их свойства
Переменной называют величину , принимающую значения из некоторого множества значений Х. Если каждому значению переменной х из множества Х поставлено в соответствие по определенному правилу f единственное значение переменной у из множества Y, то говорят, что задана функция , определенная на множестве Х с множеством значений Y. При этом используют следующие названия: х ––– аргумент (независимая переменная); у – значение функции (зависимая переменная); Х – область определения функции (ООФ); Y – множество значений функции (ОЗФ). Функция , область определения Х которой симметрична относительно начала координат, называется четной, если , и называется нечетной, если , ". Примеры. y = cos x – четная функция, y = x 3 – нечетная функция, – функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
Функция называется периодической, если существует положительное число Т, такое, что , ". Примеры. y = tg x – периодическая функция, наименьший период T = π, y = ln x – непериодическая функция.
Значение функции – переменная величина, поэтому можно рассматравать новую функцию с аргументом у: z = g (y), где , Пример. z = tg(х 2 + 3 x -1) – суперпозиция функций z = tg у и у = х 2 + 3 x -1. Если ставится в соответствие единственное значение , такое, что , то говорят, что задана функция , которую называют обратной по отношению к функции . Функции f и называются взаимно обратными функциями. Если у обратной функции обозначить аргумент буквой х, а функцию – буквой у, то графики взаимно обратных функций и будут симметричны относительно прямой у = х. Пример. y = lg x и y = 10 x – взаимно обратные функции.
Все функции, задаваемые аналитическим способом, можно разбить на два класса: элементарные и неэлементарные. В классе элементарных функций выделяют основные элементарные функции: степенная (у = xn), показательные (y = ax), тригонометрические (y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x), а также обратные к ним (логарифмические, обратные тригонометрические и др.). Элементарными называют функции, полученные из основных элементарных функций при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, а также суперпозиции основных элементарных функций. Все остальные функции относятся к неэлементарным. Примеры. y = lg(cos x) – элементарная функция, т.к. является суперпозицией основных элементарных функций y = lg x и y = cos x; – неэлементарная функция.
Нулями функции называют точки х, в которых выполнено равенство . Нули функции – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Oх. Пример. У функции y = lg(x) единственный нуль – точка х = 1.
Функция называется монотонно возрастающей на интервале х Î(а; b), если для любых двух точек х 1 и х 2 этого интервала из неравенства х 2 > х 1 следует неравенство , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции. Функция называется монотонно убывающей на интервале х Î(а; b), если для любых двух точек х 1 и х 2 этого интервала из неравенства х 2 > х 1 следует неравенство . Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции. Если функция монотонна на интервале хÎ (а; b), то она имеет обратную функцию . Пример. Функция y = tg x монотонна на интервале , ее ОЗФ: . Она имеет обратную функцию y = arctg x, определенную на интервале , с ОЗФ: .
Точка х 0 называется точкой максимума функции , если существует такая двухсторонняя окрестность точки х 0, что для всякой точки х ¹ х 0 этой окрестности выполняется неравенство . При этом число называется максимумом функции и обозначается y max.
Аналогично, если для всякой точки х ¹ х 0 из некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство , то х 0 называется точкой минимума, а число – минимумом функции и обозначается y min. Точки максимумов и минимумов называются точками экстремумов функции, а числа y max и y min называются экстремумами функции. Пример. Функция y = cos x имеет точки максимумов , , и точки минимумов , .
Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 898; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |