Обоснованность модели

Оценить качество модели означает оценить уровень нашей уверенности в том, что выводы, сделанные с помощью модели, применимы и к реальной системе.

Можно сказать, что при достаточно большом числе повторений эксперимента (величине выборки) результаты моделирования можно сделать сколь угодно точными.

Проблема состоит в том, что эти точные результаты точны только в том случае, когда идентичны процессы, происходящие в модели и в реальной системе.

Правильность теории построения моделей может быть проверена только на практике. Так как при построении любой модели используются упрощения и абстракции реальной системы, то модель не является абсолютно точной в смысле однозначного соответствия ее реальной системе. Следовательно, существуют различные степени корректности и точности модели.

Возможные недостатки модели:

— модель может содержать несущественные переменные;

— модель может не содержать существенных переменных;

— одна или несколько существенных переменных может быть оценена или представлена неточно;

— структура модели может быть ошибочной (т.е. зависимость, связывающая отклик с управляемыми и неуправляемыми переменными).

Задачу обоснованности модели решают в несколько этапов.

На первом этапе устанавливается, в какой мере каждый из факторов влияет на параметр оптимизации. Величина коэффициента регрессии — количественная мера этого влияния. О характере влияния факторов говорят знаки коэффициентов. Знак «плюс» свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора растет величина параметра оптимизации, а при знаке «минус» — убывает.

Далее выясняется, как расположить совокупность факторов в ряд по силе их влияния на параметр оптимизации. Факторы, коэффициенты которых не значимы, не интерпретируются и о них можно сказать только, что при данных интервалах изменения они не оказывают существенного влияния на отклик.

На втором этапе проверяется правильность априорных представлений о механизме процесса. Например, если ожидается, что с ростом температуры должно происходить увеличение отклика, а коэффициент регрессии «минус», то возникает противоречие. Здесь возможны две причины: либо в эксперименте допущена ошибка, либо неверны априорные представления.

Когда имеется большая априорная информация, позволяющая выдвигать гипотезы о механизме явлений, можно перейти к третьему этапу: проверка гипотез о механизме явлений и выдвижение новых гипотез.

Статистические испытания, используемые для проверки принятых при построении модели допущений, а также выводов, которые делаются на основе результатов эксперимента, решают, главным образом, две задачи:

А. Проверка гипотез:

1. Оценка параметров совокупности, в предположении о виде функции распределения вероятностей (на основе критериев,и );

2. Оценка параметров совокупности независимо от вида функции распределения (посредством непараметрических критериев);

3. Установление закона распределения для совокупности, из которой получена выборка (используются критерии согласия и Колмогорова – Смирнова);

4. Определение тесноты связи между двумя или более переменными (с использованием корреляционного анализа).

Б. Оценивание:

1. Вычисление точечных и интервальных оценок параметров совокупности (выборочные );

2. Определение количественных уравнений, связывающих две или более переменные (на основе регрессионного анализа);

Перечислим основные статистические методы, используемые для оценивания и проверки гипотез:

1. Проверка средних значений.

2. Анализ дисперсий и ковариаций.

3. Проверка по критериям согласия.

4. Регрессионный и корреляционный анализ.

Рассмотрим более подробно первый из перечисленных методов.

Проверка средних значений.

С помощью данной проверки решается вопрос о том, принадлежат ли две различные выборки одной данной совокупности. Выбор критерия определяется конкретной ситуацией и зависит от следующего:

1. Имеют ли обе совокупности одинаковую дисперсию ?

2. Известны ли дисперсии совокупностей, или они оцениваются?

3. Проводится ли сравнение среднего значения выборки с известным средним значением второй совокупности?

4. Имеют ли обе выборки одинаковую величину?

5. Каковы размеры выборок?

Рассмотрим задачу проверки гипотезы о том, что две совокупности имеют одинаковую дисперсию . Вычислим выборочные дисперсии и . Пусть , тогда расчетное сравниваем с табличным - распределением для заданного числа степеней свободы . Если , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

С учетом всех известных данных конкретный критерий выбирается по схеме, приведенной на рис. 3.6.

Пример 3.3.

При исследовании работы химического завода получены данные измерений некоторой характеристики функционирования одной из подсистем в течение пяти недель. Модель этой подсистемы использовалась ранее для предсказания той же характеристики в течение семи недель. Результаты (тонны в неделю):

Для подсистемы: 22; 22,5; 22,5; 24; 23,5.

Для модели: 24,5; 19,5; 25,5; 20; 18; 21,5; 21,5.

При требуется проверить, есть ли значимая разница между средними значениями характеристик:

.

.

Но: , .

Тогда (рис. 3.6)

,

, ,

, .

.

Но: - принимается

Однако различие дисперсий заставляет пересмотреть модель, т.к. большая дисперсия может привести к нежелательным последствиям при включении модели в более общую модель.

В заключение перечислим основные требования к обоснованности модели. Наибольшая обоснованность модели достигается:

1) использованием здравого смысла и логики;

2) максимальным использованием опыта тех, кто хорошо знает исследуемую систему;

3) эмпирической проверкой с помощью соответственных статистических испытаний всех используемых допущений, гипотез и т.п.;

4) максимальным вниманием к всевозможным деталям с проверкой и перепроверкой каждого шага процесса построения модели;

5) применением на стадии доводки модели контрольных данных для проверки того, что модель работает должным образом;

6) сравнением соотношений входа и выхода модели и реальной моделируемой системы (если возможно) с использованием статистических критериев;

7) проведением, когда это возможно, полевых испытаний модели и ее подсистем;

8) проведением анализа чувствительности выхода модели по отношению к изменениям входных параметров и т.п.;

9) тщательным сравнением результатов, предсказываемых моделью и получаемых в процессе работы реальной системы, которая подвергается исследованию.

Контрольные вопросы

1. Что такое фактор, уровень, отклик?

2. Каково преимущество многофакторного эксперимента перед однофакторным?

3. Какое количество опытов требуется для ПФЭ первого порядка?

4. Что такое ДФЭ?

5. В каких случаях строятся планы второго порядка?

6. Перечислите вопросы стратегического и тактического планирования.

7. Как проверяется адекватность модели?

8. Какие методы поиска оптимальной области Вы знаете?

Дата добавления: 2014-01-03