Табличные значения производных основных функций

1. (uⁿ)' = n × u^n-1 × u' (n Î R)

2. (a^u)' = a^u × lna× u'

3. (e^u)' = e^u × u'

4. (log _a u)' = × u'

5. (ln u)' = × u '

6. (sin u)' = cos u × u'

7. (cos u)' = - sin u× u'

8. (tg u)' = × u'

9. (ctg u)' = - × u'

10. (arcsin u)' = × u'

11. (arccos u)' = - × u'

12. (arctg u)' = × u'

13. (arcctg u)' = - × u'

Пример. Найти производную функции у = х ⁴ + 2 х ² – 1

Для вычисления данной производной воспользуемся 1 табличным значением:

у ′ = 4 х ^4-1 + 2∙2 х = 4 х ³ +4 х

Пример. Найти производную функции у = 12 х ∙ (х ² – 8)

Для вычисления производной воспользуемся сначала 3 правилом дифференцирования (u = 12 x, v = х ² – 8), затем 1 табличным значением:

у′ = (12 х)′ ∙ (х ² – 8) + 12 х ∙ (х ² – 8)′ = 12 ∙ (х - 8) + 12 х ∙2 х = 12 х – 96 + 24 х ²

Пример. Найти производную функции у = е ^{3-4 х}

Данная функция является сложной, ее производная находится по 5 правилу дифференцирования. Обозначим u = 3 - 4 х, тогда у = е^u. Далее воспользовавшись 3 табличным значением производной, получим:

у ′ = (e^u)' = e^u × u' = е ^{3-4 х} ∙ (3 - 4 х)′ = е ^{3-4 х} ∙ (-4) = - 4 е ^{3-4 х}

Пример. Вычислить производную функции: у =

Данная производная вычисляется по 4 правилу дифференцирования (u =2 x ²+3, v =7 x ²+2):

у′ = = =

= = -

Пример. Вычислить производную функции: у = (5 х ²+3 х -7)⁶

Данная функция является сложной. Обозначим u = 5 х ²+3 х -7, получим функцию у = u⁶, для нахождения производной которой воспользуемся 1 табличным значением:

у ′ = 6 u ⁵ = 6∙(5 х ²+3 х -7)⁵ ∙ (5 х ²+3 х -7)′ = 6∙(5 х ²+3 х -7)⁵ ∙ (10 x +3)

Пример. Вычислить производную функции: у =

Для нахождения данной производной сначала преобразуем заданную функцию: у = . Далее воспользуемся 1 табличным значением:

у ′ = = =

Дата добавления: 2014-01-03