Метод замены переменной (метод подстановки)

Этот метод является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием.

Пример. Вычислить: ∫ (2 x +3)⁵ dx

Введем новую переменную t = 2 x + 3, тогда dt = t′ ∙ dx = (2 x +3)′ ∙dx = 2 dx, откуда dx = . Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 2 x + 3 подставим t, вместо dx подставим ):

∫(2 x +3)⁵ dx = ∫ t ⁵ ∙ = ∙∫ t ⁵ dt = .

Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 2 x +3) и получим окончательный ответ:

∫(2 x +3)⁵ dx = = (2 x +3)⁶ + С.

Пример. Вычислить:

Введем новую переменную t = 2+ x ³, тогда dt = (2+ x ³) ′∙ dx = 3 x ² dx, откуда d x = . Подставим новую переменную в интеграл:

= = = ln +C = ln+ C

Пример. Вычислить:

Введем новую переменную t = 5+ e^x, dt = (5+ e^x)′∙dx = e^x∙dx, dx = . Подставим новую переменную в интеграл:

= = = = = -

Дата добавления: 2014-01-03