Пусть дан ряд
с неотрицательными членами. Если существует предел
, то при q<1 ряд сходится, при q>1 ряд расходится, при q=1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Пример. Определить сходимость ряда
.
, следовательно, ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда
.
Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю. Найдем
.
Таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.