Признак Коши (радикальный признак)

Пусть дан ряд с неотрицательными членами. Если существует предел, то при q<1 ряд сходится, при q>1 ряд расходится, при q=1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Пример. Определить сходимость ряда .

, следовательно, ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда .

Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю. Найдем .

Таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.