![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов. Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд. Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.
Функция f(x) = ex.
Находим: f(x) = ex, f(0) = 1 f¢(x) = ex, f¢(0) = 1 …………………… f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1
Тогда:
Пример: Найдем значение числа е. В полученной выше формуле положим х = 1. Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003 Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451 Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553
Функция f(x) = sinx. f(x) = sinx; f(0) f¢(x) = cosx = sin(x + p/2); f¢(0) = 1; f¢¢(x) = -sinx = sin(x + 2p/2); f¢¢(0) = 0; f¢¢¢(x) = -cosx = sin(x + 3p/2); f¢¢¢(0)=- 1; …………………………………… f(n)(x) = sin(x + pn/2); f(n)(0) = sin(pn/2); f(n+ 1 ) (x) = sin(x + (n + 1 )p/2); f(n+ 1 ) (e) = sin(e + (n + 1 )p/2);
Функция f(x) = cosx. Для функции cos x, применив аналогичные преобразования, получим:
Функция f(x) = (1 + x)a. (a - действительное число)
…………………………………………………..
Если в полученной формуле принять a = n, где n - натуральное число и f ( n +1)(x)=0, то Rn +1 = 0, тогда
Получилась формула, известная как бином Ньютона.
Функция f(x) = ln(1 + x). f(x) = ln( 1 + x); f (0) = 0; f¢(x) =
………………………………………
Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.
ln1,5 = 0,405465108108164381
Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 933; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |