Поскольку матрица
‑ невырожденная, то для нее существует единственная обратная матрица
. Умножив обе части уравнения
слева на матрицу
, получим
, откуда
.
Рассмотрим теперь систему линейных уравнений, в которой число уравнений
и число неизвестных
совпадает и
. Тогда:
1) 
и, следовательно, такая система имеет единственное решение.
2) Матрица
имеет обратную матрицу
.
Покажем, как можно найти решение этой системы с помощью обратной матрицы
. Запишем систему в матричной форме:
(5)
Умножим обе части равенства (5) на
слева. Получим:
,
,
,
. (6)
Таким образом, если в системе линейных уравнений
и
, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле (6). Нахождение решения по формуле (6) называют матричным методомрешения системы.
ПРИМЕР 3. Решить матричным методом систему

Матрица системы имеет вид
.
Эта матрица невырожденная (
), и, следовательно, решение может быть найдено матричным методом. Имеем (по формуле нахождения обратной матрицы):

и 
.
Таким образом, получили
,
,
.