Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Задачи, приводящие к понятию производной


Лекция № 5

Тема: «Производная функции»

1.Задачи, приводящие к понятию производной 2. Определение производной. Общее правило дифференцирования 3. Физический и геометрический смысл производной. 4. Необходимое условие дифференцируемости 5. Дифференцирование сложной функции  

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону , где - время, - путь, проходимый за время .

Найдем путь, пройденный точкой за некоторый момент времени , т.е. .

Определим скорость материальной точки в момент времени (мгновенную скорость).

Для этого рассмотрим другой момент времени . Ему соответствует путь , тогда за время точка прошла путь .

Средняя скорость движения за промежуток определяется отношением пройденного пути ко времени.

Средняя скорость является переменной величиной, зависящей от , а - фиксированный момент времени. Она не характеризует движение тела в каждый момент, а показывает, с какой скоростью нужно двигаться равномерно для того, чтобы пройти за время расстояние .

При этом движение может происходить различным образом (см. рис.).

 

 

 

От точки к точке можно провести разные линии, но всем этим движениям соответствует одна и та же скорость .

Уменьшим , тогда будет приближаться к скорости в момент , поэтому естественно принять за скорость в момент времени предел :

Различные задачи естествознания – такие как определение скорости, ускорения, силы тока, плотности вещества и другие, приводят к одним и тем же вычислениям.

Объемная плотность заряда равна пределу отношения заряда к единице объема, когда объем стягивается в точку.

Поверхностная плотность электрического заряда

Линейная плотность электрического заряда

Поэтому в математике изучены подобные пределы и найдены способы их вычисления и названы производной функции.

 

 

2. Определение производной. Общее правило дифференцирования

 

Пусть задана функция , определенная в области и пусть - произвольная точка множества . Тогда значение функции в этой точке .

Дадим аргументу приращение , тогда , а

. ,

тогда .

Отношение характеризуют среднюю скорость изменения функции на промежутке .

Для нахождения скорости изменения функции в точке надо вычислить предел

О.2.1. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, называется производной функции .

Обозначается производная: . Эти обозначения ввел Лейбниц. Ньютон ввел другие обозначения .

0.2.2. Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке существует конечная производная. Если функция дифференцируема в каждой точке промежутка, то она дифференцируема на промежутке.



 

Операция вычисления производной называется дифференцированием функции, а раздел математического анализа называется дифференциальным исчислением.

Общее правило дифференцирования.

 

Для нахождения производной надо:

 

1) аргументу дать приращение и найти значение функции для нового аргумента

2) найти приращение функции;

3) найти отношение ;

4) найти предел этого отношения, при условии, что

.

Пример: найти производную функции

1)

3)

4)

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Демократизации | Физический и геометрический смысл производной. Касательная и нормаль плоской кривой

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1483; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.005 сек.