КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Проводящий шар в однородном электростатическом поле
Метод разделения переменных. Метод интегрирования уравнений Пуассона-Лапласа. Поле и емкость цилиндрического конденсатора с двухслойной изоляцией
Наиболее общим методом решения задач электромагнитного поля является метод интегрирования уравнений поля с учетом граничных условий. Дан цилиндрический конденсатор с внутренней обкладкой радиусом а1, внешней – радиусом а2 и границей между слоями диэлектрика радиусом а. Проницаемость слоя в пределах а1 < r < a равна ε1, а слоя в предел а < r < a2 равна ε2. Длина конденсатора l. Заряд конденсатора q. Рассчитать электрическое поле между обкладками и емкость конденсатора. Решение 1. Решаем уравнения Лапласа для каждого слоя в отдельности: . Для слоя а1 ‹ r ‹ a φ1 = A1ln r + B1; для слоя a ‹ r ‹ a2 φ2 = A2ln r + B2. 2. Находим напряженность электрического поля как. Тогда;. 3. Находим постоянные интегрирования из граничных условий: при r1 = a1, следовательно,. Отсюда. При r = a D1 = D2, или e1Е1= Е2ε2; значит,. Отсюда. 4. Предположим, что φ = 0 при r = a2 (так как точку нулевого потенциала можно задать произвольно). Тогда. Из условия непрерывности потенциала во всех точках поля, то есть , получаем. 5. Подставляем значения постоянных интегрирования в выражения для Е и φ: ;; ;, где r – координата произвольной точки. 6. Находим напряжение и емкость конденсатора: . 7. Находим энергию, накопленную в конденсаторе: .
Пусть в однородное электростатическое поле с напряженностью E0 помещен незаряженный металлический шар радиусом a (рис. 1). Диэлектрик, окружающий шар, имеет относительную диэлектрическую проницаемость εr. Требуется рассчитать поле (определить его напряженность, вектор электрической индукции и потенциал) в каждой точке диэлектрика, окружающего шар, а также на поверхности шара.
Рис.2 Решение. Любое однородное поле является бесконечным. При помещении металлического шара в электростатическое поле оно перестает быть однородным. Поле искажается, так как на поверхности шара индуцируется заряд, который, в свою очередь, возбуждает новое поле, накладывающееся на внешнее однородное поле. Поле внутри шара равно нулю (шар является проводником): . В диэлектрике, окружающем его, свободных зарядов нет, поэтому, с математической точки зрения, поле вне шара описывается уравнением Лапласа: .
Рис.3
Запишем граничные условия задачи. Вдали от шара поле остается однородным: . (1) Поскольку поверхность проводящего шара является эквипотенциальной, ее потенциал не изменяется, т.е. . (2) Исходя из симметрии шара, можно установить, что напряженность поля и потенциал зависят только от двух сферических координат R и θ, т.е. от угла ψ величина потенциала зависеть не будет.
Представив уравнение Лапласа в сферической системе координат . (3) Таким образом, расчет поля шара сводится к решению уравнения Лапласа в частных производных (3) с учетом граничных условий (1 и (2). Одним из методов решения таких уравнений является метод разделения переменных, или метод Фурье, согласно которому решение (3) можно найти в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координаты R, а другая – только от координаты θ, т.е. . (4) Подставляя (4) в (3), после соответствующих преобразований получим:
, (5) где,. Из (5) следует, что сумма двух функций, независимых друг от друга, равна нулю. Это возможно только в том случае, когда каждая из них равна постоянной величине: ,. Соответственно можно записать два уравнения: , (6) . (7) Уравнение (7) есть частный случай широко известного в математике уравнения Лежандра, решение которого имеет вид . (8) Подставляя (8) в (7), можно определить значение постоянной: , откуда. С учетом значения постоянной уравнение (6) запишется как . (9) Перейдем к новой переменной: ,,. Тогда , . Подставляя полученные соотношения в (9), получим: . (10) Решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения известно: , где и – корни характеристического уравнения (10): , ,,. Тогда . Подставляя выражение для в (4), найдем окончательное решение уравнения (3): . (11) Соотношение (11) определяет потенциал любой точки поля вне шара с точностью до постоянных и. Напряженность поля вне шара в сферической системе координат складывается из трех составляющих: ,, где – проекция на направление единичного радиус-вектора; – проекция на направление единичного вектора, – проекция напряженности поля на направление единичного вектора. С учетом симметрии задачи , следовательно, в данном случае ,. (12)
Поскольку электростатическое поле – это потенциальное поле, используя выражение для градиента в сферической системе координат, и симметрию задачи, можно записать: . (13) Сравнивая выражения (12) и (13), получим: (14) Выражение (11) и система (14) представляют общий вид решения уравнения с точностью до постоянных интегрирования и. Они описывают множество задач электростатики. Решение для поставленной задачи можно найти с помощью граничных. Поскольку напряженность поля направлена по оси (угол равен нулю), из граничного условия (1) и выражений (14) следует: ,. (15) Граничное условие примет вид: . Это условие должно выполняться при любых значениях угла, что возможно только в случае, когда , откуда . (16) Искомое решение для проводящего шара:
Найдем напряженность электрического поля на поверхности шара: , , . (17) Из (17) следует, что на полюсах шара (и) напряженность поля будет максимальной, т.е. . Таким образом, напряженность электрического поля на полюсах шара в три раза больше напряженности внешнего поля. Этот результат следует учитывать при разработке конструкции проводящих шаровых крыш, куполов. Именно в полюсах шара следует ожидать удара молнии (пробой) во время грозы. Интересно отметить, что максимальное значение напряженности поля не зависит от радиуса шара. Поэтому нетрудно оценить, например, влияние проводящей крупинки, попавшей в изоляцию. Так, капелька воды в баке трансформатора с масляным заполнением вызывает значительное местное увеличение напряженности поля.
Картина силовых и эквипотенциальных линий (картина поля) вокруг проводящего шара представлена на рис. 4.
Рис. 4
Под действием внешнего поля на поверхности шара индуцируется свободный заряд: на верхнем полушарии – положительный заряд, а на нижнем – равный ему по величине отрицательный заряд. В соответствии с (17) рассчитаем плотность индуцированного заряда на поверхности шара: . (18). Из (18) следует, что плотность свободного заряда пропорциональна. На рис 5 приведен график изменения плотности индуцированного заряда для верхнего полушария.
Определим полный заряд одного полушария: . Как видно из рис.6, площадь кольца равна: , тогда .
С учетом (18) получим:
Таким образом, полный заряд шара пропорционален квадрату его радиуса, напряженности внешнего поля и относительной диэлектрической проницаемости окружающей среды.
Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 2127; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |