Плоская гармоническая волна в проводящей среде

Пусть плоская гармоническая волна проникает в проводящую среду) через плоскость, нормальную к направленную движения волны.

Система уравнений Максвелла в комплексной форме будет иметь вид:

(1)   (2)   (3)

Плотностью тока смещения () в уравнении (1) пренебрегаем в связи с ее малостью по сравнению с плотностью тока проводимости.

Выберем направления осей координат так, чтобы вектор сопадал с осью x (), вектор совпадал с осью y (), тогда вектор Пойтинга будет направлен по оси z (). При таком выборе направле­ний осей координат

и система уравнений Максвелла получит вид:

Решим данную систему дифференциальных уравнений относительно одной из пере­менных, например,. Для этой цели продифференцируем уравнение (2) по пере­менной (z) и сделаем в него подстановку из уравнения (1):

Введем обозначения:

, где.

С учетом принятых обозначений дифференциальное уравнение получит стандартную форму:

.

Решение дифференциального уравнения:

,

где a ₁= - p b, a ₂ = p - корни характеристического уравнения.

Если среда распространения волны не ограничена, то отраженная волна отсутствует, и второе слагаемое из решения можно исключить, тогда решение в комплексной форме по­лучит вид:

Перейдем от комплексного изображения к функции времени:

Решение для волны в комплексной форме:

,

где -комплексное волно­вое сопро­тивле­ние среды, которое носит активно-индуктивный характер.

Перейдем от комплексного изображения к функции времени:

Таким образом, электромагнитное поле в проводящей среде распростра­няется в виде затухающих взаимно перпендикулярных волн и. Множитель показывает, что амплитуды волн при своем перемещении зату­хают по экспоненциальному закону.

Под глубиной проникновения ∆ понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси z), на котором амплитуда падающей волны Е (или Н) уменьшается в е =2,7183 раз.

Уравнением для определения глубины проникновения является выражение е^-κΔ=е^{- 1}.

Отсюда следует, что kΔ= 1 или Δ = 1 /k.

Глубина проникновения зависит от свойств проводящей среды (σ и μ) и от частоты ω.

Так, если электромагнитная волна имеет частоту f= 5000 Гц и проникает в проводящую среду, у которой σ = 10⁷ См/м и μ_r= 10³, то

k =√ ωσμ /2=√2 π ·5000·10³·1,256·10^-6·10⁷/2=14100(1/м).

Глубина проникновения Δ =1/κ @ 0,007 см, т.е. на ничтожном расстоянии в 0,007 см амплитуды Н и Е снизились в 2,7183 раза.

Под длиной волны l в проводящей среде понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси z), на котором фаза колебания изменится на 2 π. Длина волны определится из уравнения l k= 2 π, отсюда l= 2 π/ k. На расстоянии длины волны z =l зату­хание волны составит раз.

Под фазовой скоростью понимают скорость, с которой надо было бы перемещаться вдоль оси z, чтобы колебание имело бы одну и ту же фазу. Фаза колебания определяется выражением (ωt–κz+ψ_a). Производная от постоянной величины есть нуль, поэтому

d (ωt–kz+ψ_a)/dt =0, или ω–k dz/dt=0; dz/dt= v_фаз , v_{фаз =}ω/k.

Для рассмотренного выше числового примера

v_фаз = 2 π ·5000/14100» 2,25 (м/с).

Таким образом, электромагнитная волна проникает вглубь проводящей среды с малой скоростью и на очень малую глубину.

Дата добавления: 2014-01-03