Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок не равного нулю её минора. Минор порядка равного рангу матрицы и отличный от нуля называется базисным (таких миноров у матрицы может быть несколько).

Правило вычисления ранга матрицы

Ранг матрицы равен максимальному числу ненулевых строк после приведения её к ступенчатому виду путём элементарных преобразований.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования вида:

1) перестановка местами любых двух строк (столбцов) матрицы;

2) умножение всех элементов строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

4) транспонирование;

5) вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю.

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Пример. Найти ранг матрицы.

Рассмотрим систему вида: Введём основную матрицу системы, составленную из

коэффициентов при неизвестных и расширенную матрицу системы

.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы этой системы, то есть.

Замечание.

1. Если, то система несовместна;

2. Если, то система определённая;

3. Если, то система неопределённая. В этом случае по базисному минору выписывают уравнения, в которых базисные переменные выражаются через свободные неизвестные и записывается общее решение системы уравнений.

Дата добавления: 2014-01-03