Поверхности второго порядка

Определение. Поверхность R ³, которая в декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется поверхностью второго порядка.

Общее уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:

Это уравнение может определять сферу, эллипсоид, однополостной или двуполостной гиперболоид, эллиптический или гиперболический параболоид, цилиндрическую или коническую поверхности второго порядка. Оно может также определять совокупность двух плоскостей, точку, прямую или даже не иметь геометрического смысла. Если уравнение (2) определяет поверхность, среди сечений плоскостями которой имеются какие-либо кривые из линий второго порядка: окружность, гипербола, эллипс, парабола, то с помощью переноса начала координат и поворота осей координат уравнение (2) приобретает вид канонического уравнения соответствующей поверхности второго порядка. Приведем некоторые примеры:

– эллипсоид;

– однополостной гиперболоид;

– двуполостной гиперболоид;

– конус;

– эллиптический параболоид;

– гиперболический параболоид;

– эллиптический цилиндр;

– гиперболический цилиндр;

– параболический цилиндр.

Если, то эллипсоид обращается в сферу. Если лежащая в координатной плоскости кривая вращается вокруг какой-либо координатной оси, то образуется поверхность, называемая поверхностью вращения.

Например, если у эллипса a = b, то, вращая его вокруг оси оz, получим поверхность вращения - эллипсоид вращения, имеющий уравнение,где.

Дата добавления: 2014-01-03