Краевые условия

Уравнению (3) удовлетворяет всякое свободное колебание, независимо от своего происхождения и от способов закрепления концов струны. Однако, совершенно ясно, что если мы выведем струну из положения равновесия и предоставим самой себе, то характер ее колебаний будет один, а если, выведя из состояния равновесия, придадим ее точкам те или иные скорости – другой. Кроме того, различные способы закрепления концов струны приводят к различным перемещениям точек струны. А тогда понятно, что для определения перемещений точек струны необходимо задать начальные условия, описывающие поведение струны в начальный момент времени , т.е. ту форму, которую струна приобретает при выводе ее из положения равновесия,

(4)

и те скорости, которые сообщаются точкам струны в начальный момент

. (5)

В частном случае может оказаться, что в начальный момент времени струна не имеет отклонения от равновесного состояния () или точки струны не получают начальных скоростей ().

Кроме того, необходимо задать граничные условия задачи, т.е. описать характер поведения концов струны в процессе ее колебаний. Здесь ог-

раничимся случаем, когда концы струны закреплены неподвижно:

. (6)

Граничные и начальные условия называются краевыми условиями.

Дата добавления: 2015-07-13