Понятие пространственной задачи теплопроводности

Процесс распространения тепла в пространстве может быть охарактеризован температурой , являющейся функцией пространственных координат и времени . Среда, в которой распространяются процессы теплопередачи, характеризуется так называемым калорическим уравнением состояния , плотностью и коэффициентом теплопроводности . Здесь - внутренняя энергия тела, заключенная в единице массы, если эта масса нагрета до температуры .

Количество тепла, заключенное в бесконечно малом объеме, ограничивающем точку с координатами

, , ,

в момент времени равно . Изменение этого количества тепла за время будет равно

.

Такое изменение может произойти только за счет того, что тепло вытекает или втекает через границу выделенного объема, если мы предполагаем, что выделения или поглощения энергии не происходит. Количество тепла (поток тепла), протекающего через площадку за время , равно

. 41)

Здесь - производная температуры по нормали к выделенной площадке . Тепло течет из области более высоких температур в область более низких. Формула 41) для потока тепла – закон теплопроводности Ньютона в изотропном теле, который является результатом систематизации большого количества опытных фактов.

Определим поток тепла через площадки, ограничивающие наш объем. Количество тепла, втекающее через площадку , равно

,

а через площадку

.

Общее количество тепла, вошедшее в рассматриваемый объем через эти две площадки, будет

.

Аналогично, количество тепла, вошедшее в рассматриваемый объем через площадки и за время , будет соответственно

и .

Суммируя все полученные потоки тепла и, приравнивая их сумму изменению внутренней энергии, получаем

Сокращая обе части последнего соотношения на и, замечая, что точка может быть выбрана произвольно (поэтому индекс ноль может быть опущен), приходим к окончательной форме уравнения теплопроводности

. 42)

В 42) , тогда . Обозначая - теплопроводность единицы объема, из 42) имеем

.

Если и являются константами, тогда последнее соотношение примет вид . Коэффициент называется коэффициентом температуропроводности. Из физических соображений он положителен. Обозначая его через , имеем следующий вид уравнения теплопроводности , где - оператор Лапласа. В двумерном случае оператор Лапласа - , в одномерном - . Если температура не зависит от времени - стационарное температурное поле, то распределение температуры определится из следующего уравнения Лапласа . 43)

Дата добавления: 2015-07-13