Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности с использованием функции Лапласа

Пример. Экономический анализ труда предприятий отрасли позволил выдвинуто гипотезу о наличии 2 типов предприятий с различной средней величиной показателя производительности труда. Выборочное обследование 42 предприятий 1-й группы дало следующие результаты: средняя производительность труда X – 119 деталей. По данным выборочного обследования, на 35 предприятиях 2-й группы средняя производительность труда Y – 107 деталей. Генеральные дисперсии известны: D(Х) = 126,91 (дет.²); D(Y) = 136,1 (дет.²).

Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y, на уровне значимости 0,05, проверьте, случайно ли полученное различие средних показателей производительности труда в группах или же имеются 2 типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.

Решение. Для решения данной задачи необходимо сравнить 2 средние нормально распределенных генеральных совокупностей, генеральные дисперсии которых известны (большие независимые выборки). В данной задаче речь идет о больших выборках, так как n_х = 42 и n_у = 35 больше 30. Выборки – независимые, так как из контекста задачи видно, что они извлечены из непересекающихся генеральных совокупностей.

Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.

Н ₀: X = Y – генеральные средние 2 нормально распределенных совокупностей с известными дисперсиями равны (применительно к условию данной задачи – предприятия 2 групп относятся к одному типу предприятий: средняя производительность труда в 2 группах – одинакова).

Н ₁: X≠ Y- генеральные средние 2 нормально распределенных совокупностей с известными дисперсиями неравны (применительно к условию данной задачи - предприятия 2 групп относятся к разному типу предприятий: средняя производительность труда в 2 группах – неодинакова).

Выдвигаем двустороннюю конкурирующую гипотезу, так как из условия задачи не следует, что необходимо выяснить больше или меньше производительность труда в одной из групп предприятий по сравнению с другой.

Поскольку конкурирующая гипотеза – двусторонняя, то и критическая область – двусторонняя.

В качестве критерия для сравнения 2 средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки), используется случайная величина Z.

Его наблюдаемое значение (Z _набл) рассчитывается по формуле

где X – выборочная средняя для X; Y – выборочная средняя для Y; 1>(Х) – генеральная дисперсия для X; D(Y) – генеральная дисперсия для Y; пх – объем выборки для X; пу – объем выборки для Y.

Найдем наблюдаемое значение (z _набл):

Так как конкурирующая гипотеза - двусторонняя, критическое значение (z _кр) следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 3) из равенства

Ф(z _кр)= (1)

По условию = 0,05.

Отсюда

Ф₀(z _кр)=(1-0,05) /2 = 0,475.

По таблице функции Лапласа (приложение 3) найдем, при каком (z _кр) Ф₀(z _кр)=0,475.

Ф₀(1,96) = 0,475.

Учитывая, что конкурирующая гипотеза - двусторонняя, находим две критические точки:

z _кр(n) = 1,96; z _кр(л) = -1,96

Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе Н ₁: X < Yz _кр следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 3) из равенства Ф₀(z _кр) = (1 - 2)/2 и присваивать ему знак «минус».

При правосторонней конкурирующей гипотезе Н₁: X > Yz _кр находим по таблице функции Лапласа (приложение 3) из равенства Ф₀(z _кр) = (1 - 2)/2.

Z _набл > z _кр, следовательно, на данном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается в пользу конкурирующей. На уровне значимости = 0,05 можно утверждать, что полученное различие средних показателей производительности труда в группах неслучайно, имеются 2 типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.

Наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область (рисунок 5), следовательно, нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей.

Рисунок 5

Ответ. На уровне значимости = 0,05 можно утверждать, что полученное различие средних показателей производительности труда в группах неслучайно, имеются 2 типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.

Дата добавления: 2015-07-13