Методика решения задачи на тему

«Однофакторный дисперсионный анализ»

Провести однофакторный дисперсионный анализ результатов годовых исследований ежедневных уровней воды р. Бия (м) в районе с. г. Бийска (с 1 – 10 каждого месяца).

1). Составляем таблицу полученных результатов измерения ежедневных уровней воды по повторностям и вычисляем среднее число результатов ежедневных уровней воды р. Бия относительно нуля водомерного столба в районе г. Бийска.

Таблица 2

Вари- ант	Повторения	Сумма по вариан- там, X	Сред- ние
I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
1 (к)	1,10	1,18	1,26	1,38	3,46	2,62	2,30	1,42	1,36	1,10	17,18	1,72
	1,10	1,18	1,26	1,38	3,13	2,61	2,32	1,43	1,36	1,08	16,85	1,69
	1,11	1,18	1,26	1,39	2,86	2,58	2,33	1,44	1,40	1,12	16,67	1,67
	1,12	1,18	1,26	1,44	2,76	2,48	2,28	1,45	1,41	1,10	16,50	1,65
	1,12	1,20	1,27	1,49	2,64	2,38	2,20	1,44	1,37	1,08	16,21	1,62
	1,12	1,20	1,30	1,54	3,06	2,30	2,13	1,48	1,44	1,10	16,61	1,66
	1,12	1,20	1,32	1,54	3,28	2,25	2,06	1,63	1,54	1,12	17,09	1,71
	1,12	1,21	1,33	1,58	3,20	2,18	2,01	1,54	1,46	1,12	16,78	1,68
	1,12	1,22	1,34	1,61	3,17	2,12	1,94	1,49	1,40	1,12	16,51	1,65
	1,12	1,23	1,34	1,68	3,32	2,10	1,90	1,54	1,36	1,24	16,85	1,69
Сумма по повторениям, Р	11,15	11,98	12,94	15,03	30,88	23,62	19,14	14,86	14,10	11,18	167,25

Общее количество наблюдений определяют как произведение числа вариантов на число повторностей: N=n×j = 10× 10 = 100

Средний уровень воды р. Бия в районе г. Бийска равен:

= 167,25÷100 = 1,6725 (м)

2). Для расчета дисперсий необходимо составить вспомогательную таблицу квадратов, для этого все значения предыдущей таблицы возводят в квадрат.

Таблица 3

Квадраты чисел

Вари- ант	Повторения	^Сумма Х^2	V^2
I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
	1,21	1,39	1,59	1,90	11,97	6,86	5,29	2,02	1,85	1,21	35,29	295,15
	1,21	1,39	1,59	1,90	9,80	6,81	5,38	2,04	1,85	1,17	33,14	283,92
	1,23	1,39	1,59	1,93	8,18	6,66	5,43	2,07	1,96	1,25	31,69	277,89
	1,25	1,39	1,59	2,07	7,62	6,15	5,20	2,10	1,99	1,21	30,84	272,25
	1,25	1,44	1,61	2,22	6,97	5,66	4,84	2,07	1,88	1,17	29,11	262,76
	1,25	1,44	1,69	2,37	9,36	5,29	4,54	2,19	2,07	1,21	31,41	275,89
	1,25	1,44	1,74	2,37	10,76	5,06	4,24	2,66	2,37	1,25	32,87	292,07
	1,25	1,46	1,77	2,50	10,24	4,75	4,04	2,37	2,13	1,25	31,76	281,57
	1,25	1,49	1,80	2,59	10,05	4,49	3,76	2,22	1,96	1,25	30,86	272,58
	1,25	1,51	1,80	2,82	11,02	4,41	3,61	2,37	1,85	1,54	32,18	283,92
Сумма Х^2	12,40	14,34	16,77	22,67	95,97	56,14	46,33	22,11	19,91	12,51	319,15	2798,0
Сумма по повторениям, Р^2	124,32	143,52	167,44	225,90	953,57	557,90	366,34	220,82	198,81	124,99

3). Вычисляем суммы квадратов = 1,21+1,21+1,23+1,25+……+ = 347,23

Находим сумму квадратов по вариантам:

= 295,15+283,92+277,89+272,25+262,76+275,89+292,07+281,57+272,58+

283,92= 2798,0

Определяем сумму квадратов по повторениям:

=124,32+143,52+167,44+225,90+953,57+557,57+366,34+220,82+198,81+

124,99+134,99+ =3082,85

4) Определив суммы квадратов, рассчитываем следующие показатели:

Корректирующий фактор:

Общее варьирование:

Варьирование по вариантам:

Варьирование по повторениям:

Остаточное варьирование: C z=Cy - Cv – Cp = 39,42 – 0,07 – 28,555 = 10,795

5) Для вычисления существенности различий между вариантами исследования полученные результаты сведем в таблицу 7.

Таблица 7

Результаты дисперсионного анализа

Виды варьирования	Сумма квадратов	Степени свободы	Дисперсия	Критерии Фишера
Fфакт.	Fтеор,
Общее	39,42
Повторений	28,555
Вариантов	0,07		0,0078	17,09	2,0
Ошибки	10,795		0,1333

Дисперсию для различных видов варьирования находят делением суммы квадратов на соответствующее число степеней свободы:

S_v² = 0,07 ÷ 9 = 0,0078

S² = 10,795 ÷ 81 = 0,1333

Фактическое значение критерия Фишера рассчитывают делением большей дисперсии на меньшую: F_факт. = 0,1333 ÷ 0,0078 = 17,09

Теоретическое значение критерия Фишера для 5%-ного уровня значимости и соответствующего числа степеней свободы находят по таблице (прилож. 2), F₀₅ = 2,0

6). Первый статистический вывод делают на основании сравнения F_факт. и F_теор. Если F_{факт .}F_теор, - нулевая гипотеза подтверждается, т.е. между вариантами нет существенных различий. В таком случае дисперсионный анализ заканчивается. Если F_факт. ≥ F_теор, то в исследовании ежедневных уровней воды р. Бия имеется хотя бы одни вариант, который существенно отличается от остальных. Н₀ отвергается и дисперсионный анализ необходимо продолжить, чтобы выявить те варианты которые существенно отличаются друг от друга.

7). Достоверность различий между вариантами можно определить по НСР или по утроенной ошибке средней арифметической

Для расчета НСР необходимо определить ошибку разности средних:

Наименьшую существенную разность определяют по формуле:

НСР₀₅ = t₀₅ × S_{d =} 1,98 × 0,057 = 0,113 (м)

Значение критерия Стьюдента берут из таблицы (прилож.1) для числа степеней свободы остаточной дисперсии (V= 99) – (t₀₅ = 1,98).

8). Выводы формулируются на основании сравнения полученных результатов с НСР (или ).

Сравнение вариантов проводят по отношению между собой.

Выводы

1. Первый статистический вывод делают на основании сравнения F_факт. и F_теор. Если F_факт. F_теор, - нулевая гипотеза подтверждается, т.е между вариантами нет существенных различий.

2. В исследованиях ежедневного уровня воды за годичный период первой декады каждого месяца р. Бия в районе г. Бийска на всех вариантах получены достоверные показатели по отношению к контрольному варианту.

Приложение 1

Значение критерия Стьюдента (t) на 5; 1 и 0,1 %-ных уровнях

значимости

Число степеней свободы	Уровень значимости
0,05	0,01	0,001
	12,71	63,66	-
	4,30	9,93	31,60
	3,18	5,84	12,94
	2,78	4,60	8,61
	2,57	4,03	6,86
	2,45	3,71	5,96
	2,37	3,50	5,41
	2,31	3,36	5,04
	2,26	3,25	4,78
	2,23	3,17	4,59
	2,20	3,11	4,44
	2,18	3,06	4,32
	2,16	3,01	4,22
	2,15	2,98	4,14
	2,13	2,95	4,07
	2,12	2,92	4,02
	2,11	2,90	3,97
	2,09	2,88	3,92
	2,09	2,86	3,88
	2,08	2,85	3,85
	2,04	2,75	3,65
	2,01	2,68	3,50
	1,98	2,63	3,39
~	1,96	2,58	3,29

Приложение 2

Степени свободы для меньшей дисперсии	Степени свободы для большей дисперсии
	18,5	19,0	19,2	19,2	19,3	19,3	19,4	19,4	19,4	19,4	19,4	19,5	19,5	19,5
	10,1	9,6	9,3	9,1	9,0	8,9	8,9	8,8	8,8	8,8	8,7	8,6	8,6	8,6
	7,7	6,9	6,6	6,4	6,3	6,2	6,0	6,0	6,0	5,9	5,9	5,8	5,7	5,7
	6,6	5,8	5,4	5,2	5,0	4,9	4,8	4,8	4,8	4,7	4,7	4,5	4,4	4,4
	6,0	5,1	4,8	4,5	4,4	4,3	4,2	4,1	4,1	4,1	4,0	3,8	3,8	3,7
	5,9	4,7	4,4	4,1	4,0	3,9	3,8	3,7	3,7	3,6	3,6	3,4	3,3	3,3
	5,3	4,5	4,1	3,8	3,7	3,6	3,5	3,4	3,4	3,3	3,3	3,1	3,0	3,0
	5,1	4,3	3,9	3,6	3,5	3,4	3,3	3,2	3,2	3,1	3,1	2,9	2,8	2,8
	5,0	4,1	3,7	3,5	3,3	3,2	3,1	3,1	3,0	3,0	2,9	2,7	2,6	2,6
	4,8	4,0	3,6	3,4	3,2	3,1	3,0	3,0	2,9	2,9	2,8	2,6	2,5	2,4
	4,8	3,9	3,5	3,3	3,1	3,0	2,9	2,9	2,8	2,8	2,7	2,5	2,4	2,4
	4,3	3,4	3,0	2,8	2,6	2,5	2,4	2,4	2,3	2,3	2,2	2,0	1,9	1,8
	4,2	3,3	2,9	2,7	2,5	2,4	2,2	2,2	2,2	2,1	2,1	1,9	1,8	1,7
	4,0	3,2	2,8	2,6	2,4	2,2	2,1	2,1	2,1	2,0	1,9	1,7	1,6	1,5
	3,9	3,0	2,7	2,5	2,3	2,2	2,1	2,0	2,0	1,9	1,8	1,6	1,5	1,4

Дата добавления: 2015-08-31