Уравнение взрыва.

Уравнение нормального размножения.

Предположим, что величина биологической популяции (например, количество бактерий в чашке Петри или рыб в пруду) равна х и что скорость прироста пропорциональна наличному количеству особей. (Это предположение приближенно выполняется, пока пищи достаточно много.) Наше предположение выражается дифференциальным уравнением нормального размножения:

х = kх, k > 0.

К счастью, уравнение размножения решается явно по предыдущей теореме: согласно формуле (3),

Следовательно, решения уравнения нормального размножения экспоненциально растут при t —> +∞ и экспоненциально убывают при t —у —∞; ни бесконечные, ни нулевые значения х при конечных t не достигаются. Для удвоения количества населения, согласно уравнению нормального размножения, требуется, таким образом, всегда одно и то же время, независимо от его количества (период удвоения населения Земли сейчас порядка 40 лет).

То же самое дифференциальное уравнение с отрицательным k описывает радиоактивный распад. Для уменьшения количества радиоактивного вещества вдвое требуется время Т = k^-1 ln(2), независимо от начального количества вещества. Это время называется периодом полураспада.

То же уравнение встречается и в большом числе других задач (в дальнейшем мы увидим, что это не случайность, а проявление закона природы, по которому «всякая» функция локально приближенно линейна).

Предположим теперь, что скорость прироста пропорциональна не количеству особей, а количеству пар:

х = kх². (4)

В этом случае при больших х прирост идёт гораздо быстрее нормального, а при малых — гораздо медленнее (эта ситуация встречается скорее в физико-химических задачах, где скорость реакции пропорциональна концентрациям обоих реагентов; впрочем, в настоящее время китам некоторых видов так трудно найти себе пару, что размножение китов подчиняется уравнению (4), причём х мало). Поле направлений на вид мало отличается от такового для случая обычного размножения, но вычисления показывают, что интегральные кривые ведут себя совершенно по-другому. Предположим для простоты, что к = 1. По формуле Барроу находим решение:

Интегральные кривые — половины гипербол (рис. 11). Гипербола имеет вертикальную асимптоту. Итак, если прирост населения пропорционален числу пар, то количество населения становится бесконечно большим за конечное время. Физически этот вывод соответствует взрывообразному характеру процесса. (Разумеется, при t, слишком близком к С, идеализация, принятая при описании процесса дифференциальным уравнением, неприменима, так что реальное количество населения за конечное время бесконечных значений не достигает).

Дата добавления: 2017-02-01