Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

П Л А Н. 1. Означення функції багатьох змінних





Завдання додому

1. Конспект; [1] с. 284-294

[2] с. 397-406

 

Питання для самоконтролю

1. Означення функції багатьох змінних. Символіка.

2. Границя функції z=f (x; y).

3. Частинні та повний прирости функції z=f (x; y).

4. Частинні похідні.


Л Е К Ц І Я 17

Тема: Похідна за напрямом. Градієнт.

Мета: сформувати поняття похідної за напрямом, градієнта, скалярного поля.

Література: [1, с. 310-318]; [6, с.297-307].

1. Похідна за напрямом.

2. Градієнт.

 

1. Характеристиками скалярного поля є похідна за напрямом і градієнт.

Нехай дано скалярне поле u=u (х; у; z).

Частинні похідні визначають швидкість зміни функції Z в напрямі осей Ох і Оу .

По аналогії можна знайти швидкість зміни поля в любому напрямі.

Цією швидкістю зміни поля є похідна його в певному напрямку від точки до точки.

 

М11; у1; z1) Означення. Похідною функції u (х; у; z) в точці

М00; у0; z0) за напрямом вектора називається

границя відношення приросту функції

М00; у0; z0) u (М1) – u (М0) до довжини вектора за умови,

що М1М0 , тобто

 

де - напрямні косинуси вектора

Зауваження: для плоского поля формула для обчислення містить тільки два доданки.

Величина дорівнює швидкості зміни поля за напрямом вектора :

- якщо >0, то в цьому напрямі поле зростає;

- якщо <0 – спадає;

- якщо =0 – поле постійне, таке поле називається стаціонарним.

2.Нехай дано скалярне поле u=u (х; у; z).

Означення. Градієнтом функції u (х; у; z) називається вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції u.

grad u (х; у; z) =

Напрям градієнта в кожній точці поля збігається з напрямом нормалі до поверхні рівня, що проходить через цю точку.

u=c

grad u

 
 

 

 


Похідна в напрямі градієнта має найбільше значення. При цьому поле в напрямі градієнта зростає з максимальною швидкістю, а у напрямі, протилежному до напряму градієнта, найшвидше спадає.

Максимальну швидкість зміни поля можна обчислити за формулою:

max =

u= grad u

Властивості градієнта:

1) grad (u+v)= grad u + grad v

2) grad (c) = grad u

3) grad ()= u grad v +v grad u

4) grad

 

Приклад: 1. Знайти grad u в точці М (-1; 2; -2), якщо u =

2. Знайти найбільшу швидкість зростання поля.

3. В якому напрямі функція u спадає найшвидше?

1. grad u =

,

,

grad u=

2. max

 

3. Напрям найшвидшого спадання поля:

- grad u=

 





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 233; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.