Приведение квадратичной формы второго порядка от двух переменных к каноническому виду

Определение 35.1 Квадратичной формой второго порядка от двух переменных называется величина

(35.5)

(A,B,C – действительные числа с условием )

Определение35.2 Каноническим видом квадратичной формы Q(x,y) называется величина (35.6)

Имеет место теорема 35.1: существует такой поворот осей (на некоторый угол α) при котором в новой системе координат квадратичная форма Q(x,y) в (35.5) имеет канонический вид. (35.6).

Доказательство: Подставим в уравнение (35.5) вместо (x,y) новые координаты (x₁,y₁) полученные из прежних поворотом осей на угол α. Используя формулу (35.4) имеем:

(35.7)

Найдем в (35.7) коэффициент при x₁y₁:

(35.8)

Чтобы квадратичная форма приняла канонический вид, нужно подобрать такой угол α, при котором коэффициент при x₁y₁ обратился бы в ноль. Т.е., учитывая (35.8) надо решить уравнение или

(35.9).

Можно считать, что B≠0 (при B=0 формула (35.5) уже будет иметь канонический вид (35.6)).

Тогда поделив обе части уравнения (35.9) на (, ибо в противном случае из (35.9) получилось бы: , что противоречит основному тригонометрическому тождеству), получим

, или (35.10).

Мы показали, что при повороте осей координат на угол α, определяемой формулой (35.10), коэффициент при произведении переменных x₁y₁ обратится в ноль, т.е квадратичная форма (35.5) в новой системе координат примет вид (35.6). Теорема 35.1 доказана.

Дата добавления: 2014-01-04