Правило Лопиталя

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀, за исключением может быть самой точки x₀, и,. Тогда если существует предел отношения производных функций, то существует предел отношения самих функций, причем они равны между собой, т.е..

Доказательство:

Доопределим f(x) и g(x) в точке x₀, положив

f(x₀) = g(x₀) = 0.

В окрестности точки x₀, т.е. на (x₀,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x₀, х) такая, что

, т.к. f(x₀) = g(x₀) = 0.

Перейдем к пределу при x x₀ с x₀:

.

Ч.т.д.

Замечание. На практике при раскрытии неопределенности типа можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥.

Для раскрытия неопределенностей типа существует аналог правила Лопиталя, т.е. справедливо следующее утверждение:

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀, за исключением самой точки x₀, причем. Пусть,. Тогда если существует предел отношения производных функций, то существует предел отношения самих функций, причем они равны между собой, т.е..

В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя.

Замечание 1. Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1^¥), (¥⁰), (0⁰), сводя их к неопределенностям типа,.

Замечание 2. Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида или, то его можно применить повторно.

Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.

1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида или, нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.

.

.

Вывод: показательная функция (y=aⁿ) всегда растет быстрее, чем степенная (у=xⁿ).

.

Вывод: логарифмическая функция (y=log_ax) растет медленнее, чем степенная.

2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида или, опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.

3. При показательной неопределенности: (0⁰), (1^¥), (¥⁰); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.

.

= = =(0×¥)= = = =

= =0;

Þ A=e⁰=1.

Вопросы для самоконтроля.

1. Сформулировать теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

2 Привести геометрическую интерпретацию теорем Ферма, Ролля, Лагранжа.

2. Сформулировать для различных случаев правило Лопиталя.

Задачи для самоконтроля.

1. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

а); б); в).

2. Разложить по формуле Тейлора функцию в точке для случая n=4.

Решение типовых задач.

Задача. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

а)

.

б).

Дата добавления: 2014-01-04