П. 5. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры

Следствие

П.4. Предельный переход в интеграле Лебега

Обоснования корректности определения

П.3 Интеграл Лебега для произвольных функций

П.2 Интеграл Лебега для простых функций

Пусть простая, ее значения

Пусть - измеримо

(*)

Простая функция называется интегрируемой (суммируемой) по мере на множестве, если ряд (*) сходится абсолютно

Свойства:

1)

□

■

2)

3) Если простая функция ограничена, т.е., то она интегрируема и

Функция называется интегрируемой (суммируемой) на множестве, если последовательность простых интегрируемый функций, сходящаяся равномерно к.

Тогда

1) Для

□

Рассмотрим

■

2) Пусть

□

Пусть пределы разные, составим не найдется предела, противоречие с первым пунктом

■

3) Если - простая, то определение совпадает с определением 2-го пункта.

Свойства интеграла Лебега:

1)

2) Линейность

3) Если ограничена, то она интегрируема

4) Монотонность. Если (почти везде), то

5) Если (почти везде), то

6) Если (почти везде), то

7) Если, то

8) Если и эквивалентны, то

9) Если интегрируема на и (почти везде), то интегрируема на

10) Интегралы и существуют или не существуют одновременно

Теорема 3 (-аддитивность интеграла Лебега)

Пусть и интегрируема на

Тогда

□ 1) Пусть простая,

Пусть

2) Пусть произвольная.

Пусть простая, интегрируемая

Рассмотрим

■

Следствие:

Если интегрируема на, то она интегрируема на измеримом

Теорема 4. Пусть и ряд сходится, тогда:

Теорема 5 (Неравенство Чебышева)

Пусть на, тогда

□

Пусть

■

Следствие:

Если, то почти везде.

Теорема 6 (Абсолютная непрерывность интеграла Лебега)

Пусть интегрируема на, тогда для, что для множества и =>

- фиксированная функция

Рассмотрим

-аддитивна, может быть мерой

Теорема 7 (Лебега). Пусть на,, интегрируема на. Тогда интегрируема на и.

□ интегрируема на, интегрируема на

Для =>

По т. Егорова возьмем и на:

Т.е.

■

Теорема 8 (Леви). Пусть интегрируема на и. Тогда, почти везде, на, интегрируема на и.

Если и ряд сходится, то почти везде на

сходится и

Теорема 9 (Фату). Пусть измеримая функция, (почти везде) на и, то интегрируема на и.

Мера, определённая на множестве называется - конечной, если, - конечна.

Последовательность множеств называется исчерпывающей на, если - конечно и.

Опр. Измеримая функция называется интегрируемой (суммируемой) на с - конечной мерой, если она интегрируема на множестве, - конечна и исчерпывающей последовательности

и он не зависит от выбора

Утверждения.

1) Для интегрирования простой функции необходимо и достаточно, чтобы каждое ненулевое значение она принимала на множестве конечной меры.

2) Из того, что сходится равномерно к, - интегрируема на

3) Из ограниченности функции не следует её интегрируемость.

Дата добавления: 2014-01-04