Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція

План

Лекція 21. Границя функції багатьох змінних

Вопросы

Предел функции и арифметические операции над функциями

Определение предела функции многих переменных

Пусть определена функция

.

Определение 1. Точка называется пределом функции на множестве, когда стремится к, где - предельная точка множества, если

для, что для такого, что выполняется

.

Определение 2 (предела функции многих переменных в терминах последовательностей). Точка называется пределом функции в точке, которая является предельной для множества, по множеству, если для любой последовательности, такой, что, соответствующая последовательность значений функции сходится к.

Рис.1.

Обозначается это следующим образом:

.

Теорема 1. Пусть,, точка - предельная точка множеств,. Пусть

,, і,

тогда не существует.

Пример. Пусть, т.е.. Докажем, что не существует.

Пусть

,

.

Тогда

,

.

Поскольку, то не существует.

Замечание. Существование равных пределов функции, по всем прямым, которые проходят через точку, еще не гарантирует существования.

Пример. Пусть, т.е.. Докажем, что не существует.

Пусть

.

Тогда

,

Т.е. по всем прямым, которые проходят через точку (0,0), предел функции существует и равняется 0.

Определим еще одно подмножество области определения функции:

.

Для него

,

поэтому не существует.

Теорема 2. Пусть функции имеют следующий вид:

.

Пусть - предельная точка множества. Пусть,. Тогда существуют пределы функций,, где, по множеству, к тому же:

,

.

1. Что называется областью определения функции, областью значений функции?

2. Какое множество называют образом множества при отображении?

3. Какое множество называют прообразом множества при отображении?

4. Определение функции многих переменных.

5. Определение действительной функции многих переменных.

6. Определение предела функции многих переменных по Коши, по Гейне.

7. Предел функции и арифметические операции.

1. Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція
2. Визначення границі функції багатьох змінних
3. Границя функції і арифметичні операції над функціями

Нехай подані дві множини:. Нехай є закон, який ставить в співвідношення деяке. В цьому випадку кажуть, що на визначена функція, яка діє в, і позначають

.

Тут - область визначення функції, а її область значень знаходиться в множині. Множину називають образом множини при відображенні і позначають.

Нехай подана множина. Тоді множина усіх таких, що називається прообразом множини при відображенні.

Розглянемо функції, які визначені на деяких множинах простору із значеннями у просторі:

. (10)

Якщо

, (15)

то така функція називається дійсною.

Розглянемо функцію виду (10). Якщо, то має вигляд:. Відповідно до (10) можно представити як, де, - дійсні функції. Таким чином, кожна функція (10) породжує дійсних функцій.

Приклад. Визначимо сукупність функцій, що діють для будь-якого аргументу наступним чином:. Областю визначення функцій є весь простір, область значень -.

Приклад. Визначити область визначення для функції. Оскільки функція визначена для аргументів, значення яких знаходяться на сегменті, то

.

Таким чином, геометрично область визначення функції - це така множина точок, яка зображена на рис.1.

Дата добавления: 2014-01-04