Определение линейной функции многих переменных. Непрерывность линейной функции

План

Лекция 23. Сопряженное пространство

Питання

Рівномірна неперервність функції багатьох змінних

Неперервні функції на компактах

Визначення 3. Функція називається обмеженою на множині, якщо, що для.

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Нехай, неперервна на, - компакт, тоді обмежена на множині.

Доказ. Припустимо, що неперервна на, - компакт, але необмежена на множині. Тоді для таке, що

. (20)

Таким чином можна побудувати векторну послідовність, для.

Множина - компакт, тому - обмежена множина, а тому побудована послідовність теж обмежена. За лемою Больцано-Вейєрштрасса з кожної обмеженої послідовності можно добути збіжну підпослідовність. Для елементів цієї підпослідовності виконується умова (20), тобто

. (30)

Позначимо:.

Оскільки - компакт, то - замкнена множина, тобто містить всі свої граничні точки, тому. Функція неперервна на, тому неперервна в точці, а це означає, що

.

Але з (30) витікає, що.

Отримали суперечність, тому наше припущення про необмеженість функції є хибним.

Нехай функція і неперервна в. За визначенням це означає, що

для, що для такого, що виконується

.

На практиці буде залежити не тільки від, а і від, тобто. Виникає питання: чи можна для заданого завжди знайти таке, яке б залежали тільки від і підходило б для?

Визначення 4. Функція, називається рівномірно неперервною на множині, якщо

для, що для таких, що виконується

.

Будь-яка рівномірно неперервна на функція неперервна в кожній точці цієї множини. Навпаки взагалі не вірно.

Теорема 5 (Кантора). Нехай, неперервна на, - компакт, тоді рівномірно неперервна на множині.

1. Визначення неперервної функції багатьох змінних.

2. Поняття ізольованої точки множини.

3. Якою буде для функції, визначеної на множині, ізольована точка множини? Пояснити відповідь.

4. Як повязана неперервність функції, з неперервність дійсних функцій, які вона породжує?

5. Нехай функції неперервні в точці. Що можна сказати про неперервність функцій,,?

6. Визначення складної функції багатьох змінних.

7. Теорема про неперервність складної функції багатьох змінних.

8. Коли функція. Називається неперервною на множині?

9. Коли функція називається обмеженою на множині?

10. Теорема Вейєрштрасса.

11. Яка функція, називається рівномірно неперервною на множині?

12. Теорема Кантора.

1. Определение линейной функции многих переменных. Непрерывность линейной функции
2. Линейная форма. Общий вид линейной формы
3. Сопряженное пространство и его базис

Определение 1. Функция называется линейной функцией, если для выполняются условия:

1);

2).

Определение 2. Стандартным базисом в пространстве называется совокупность векторов:

,

,

,

...

.

Утверждение 1. Любая линейная функция равномерно непрерывна на.

Доказательство. Пусть - произвольный вектор из, тогда

Таким образом

Т.е. для:. Возьмем:

.

Тогда для, что для таких, что:,

что говорит о равномерной непрерывности на, а потому, учитывая связь между непрерывностью и равномерной непрерывностью, и о непрерывности в каждой точке.

Дата добавления: 2014-01-04