Визначення лінійної функції багатьох змінних. Неперервність лінійної функції

План

Лекція 23. Спряжений простір

Вопросы

Сопряженное пространство и его базис

Линейная форма. Общий вид линейной формы

Определение 3. Линейная функция называется линейной формой на пространстве. Множество всех линейных форм на пространстве обозначается и называется пространством, сопряженным с пространством.

Определение 4. Суммой двух линейных форм называется линейная форма, которая действует следующим образом:

.

Определение 5. Произведением линейной формы на скаляр называется линейная форма, которая действует следующим образом:

.

Пусть. Тогда для:

.

Обозначим, тогда

. (10)

Каждую линейную форму на можно представить в виде (10).

Можно легко проверить, что функции

являются линейными формами на. Тогда

.

Таким образом, каждую линейную форму можно представить в виде:

.

Покажем, что совокупность линейных форм - линейно независимая система в пространстве. Предположим, что это не так, т.е. что существуют такие, что линейная форма

является нулевой линейной формой (т.е. каждый вектор пространства переводит в нулевой), а среди есть хотя бы одно ненулевое значение.

Возьмем вектор, на этом векторе значения нулевой линейной формы будет также равняться 0:

,

из чего следует, что, а потому - линейно независимая система в пространстве. Тогда любая линейная форма может быть представлена в виде линейной комбинации функций, сами - линейно независимы, потому - базис пространства. Этот базис называется сопряженным к стандартному базису пространства. Очевидно, имеет место соотношение:

.

1. Определение линейной функции многих переменных.

2. Какой базис называется стандартным базисом в пространстве?

3. Какие свойства имеет любая линейная функция, определенная в пространстве?

4. Определение линейной формы в пространстве.

5. Общий вид линейной формы в пространстве.

6. Как определяется сумма линейных форм в пространстве?

7. Как определяется произведение линейной формы на скаляр в пространстве?

8. Что такое сопряженное пространство? Базис сопряженного пространства.

9. Связь между базисами пространств и.

1. Визначення лінійної функції багатьох змінних. Неперервність лінійної функції
2. Лінійна форма. Загальний вигляд лінійної форми
3. Спряжений простір та його базис

Визначення 1. Функція називається лінійною функцією, якщо для виконуються умови:

1);

2).

Визначення 2. Стандартним базисом в просторі називається сукупність векторів:

,

,

,

...

.

Твердження 1. Будь-яка лінійна функція рівномірно неперервна на.

Доказ. Нехай - будь-який вектор з, тоді

Таким чином

Тобто для:. Візьмемо:

.

Тоді для, що для таких, що:,

що говоре про рівномірну неперервність на, а тому, враховуючи звязок між неперервністю і рівномірною неперервністю, і про неперервність в кожній точці.

Дата добавления: 2014-01-04