Вопросы. Сочетательное свойство сходящегося ряда

Ряд Лейбница

Сочетательное свойство сходящегося ряда

Теорема 5. Сходящемуся ряду присуще сочетательное свойство, т.е. если ряд

Сходится к, в нем возможно поставить скобки. После этого получим сходящийся ряд

, (10)

который имеет ту же самую сумму.

Доказательство. Пусть - усеченные суммы исходного ряда. Тогда - это усеченные суммы ряда со скобками. Их последовательность - это подпоследовательность. Поскольку, то и, а ряд сходится к.

Замечание. Пример ряда показывает, что в сходящемся ряде скобки вообще убирать нельзя.

Пусть - последовательность положительных чисел.

Ряды

(20)

(30)

называются знакочередующимися рядами.

Будем рассматривать (20), так как ряд (30) получим, если (20) умножим на -1, что никак не повлияет на сходимость (расходимость) ряда.

Теорема 6 (Лейбница). Если последовательность монотонно убывает и стремится к 0, то ряд (20) сходится.

Доказательство. Имеем

1)

2) (необходимое условие сходимости).

Обозначим последовательность усеченных сумм этого ряда. Рассмотрим: - это конечная сумма, поэтому скобки здесь ставить можно по обычным правилам арифметики:

.

.

Поскольку, то (т.е. последовательность усеченных сумм четного количества элементов ряда есть неубывающей).

Иначе:

.

Все выражения в скобках неотрицательные, поэтому:

. (40)

Таким образом, монотонная (неубывающая) и ограниченная, поэтому.

Возьмем, поэтому.

Существование общего предела и говорит о существовании предела всей последовательности усеченных сумм, поэтому ряд сходится.

Ряд, который удовлетворяет теореме Лейбница, называется рядом Лейбница.

Замечание. Из неравенства (40) имеем

, где.

Если рассмотреть ряд, то будет иметь место неравенство

.

Вывод: сумма ряда Лейбница имеет знак первого члена ряда и по модулю.

Это замечание дает возможность легко оценивать погрешности при вычислениях с помощью рядов Лейбница, так как остаток ряда Лейбница по модулю не больше, чем модуль первого отбрасываемого члена.

Пример. Рассмотрим знакочередующийся ряд:

Ряд сходится по теореме Лейбница. Если вместо суммы ряда вычислить значение его усеченной суммы, какую погрешность мы при этом допустим? По предыдущему замечанию:

.

1. Какой ряд называется абсолютно (условно) сходящимся? Привести примеры абсолютно (условно) сходящихся рядов.
2. Как связаны между собой абсолютная и условная сходимость ряда?
3. Изменится ли сумма ряда при перестановке его членов? Ответ пояснить.
4. Сочетательное свойство сходящегося ряда.
5. Какой ряд называется знакочередующимся? Привести примеры.
6. Теорема Лейбница. Ряд Лейбница. Привести примеры.

Дата добавления: 2014-01-04