Цифровые фильтры низкой частоты

Для того чтобы исследовать медленно изменяющийся входной сигнал, необходи­мо удалить из измерительных данных случайные пики и высокочастотные наводки, которые не содержат какой-либо полезной информации. Это можно сделать с помо­щью цифрового фильтра низкой частоты (digital low pass filter). Структура цифрово­го фильтра, который эффективно удаляет резкие колебания сигнала и в то же время не влияет на медленные изменения, всегда компромиссна, потому что частотные ди­апазоны исходного и постороннего сигналов обычно пересекаются. Как и у аналоговых фильтров, динамика фильтра высокого порядка более эффективна для удаления нежелательных высоких частот.

Два наиболее важных типа ФНЧ — скользящего среднего и экспоненциального сглаживания (exponential smoothing). ФНЧ, используемые в промышленности, почти всегда базируются на одном из этих простых фильтров.

Пример.Фильтр скользящего среднего — простейший ФНЧ.

Простой фильтр скользящего среднего получается, если принять все пара­метры a_i в уравнении (5.9) равными нулю. Если необходимо простое усредне­ние, то все весовые коэффициенты b_i равны и дают в сумме единицу. Например, фильтр скользящего среднего с пятью входными отсчетами имеет вид

Если операция фильтрации производится не в режиме реального времени, то величину скользящего среднего можно подсчитать, используя измерения как до, так и после заданного момента времени kh. В этом случае отфильтрованное значе­ние не отстает по времени относительно входных значений. Непричинный про­стой фильтр скользящего среднего по пяти значениям имеет вид

Если величина на выходе представляет собой усреднение по последним п выборкам, то она смещается на 1 + п/2 циклов. При больших значениях п вы­ходной сигнал становится более гладким, но при этом все больше отстает по времени. Импульсная характеристика фильтра скользящего среднего конечна. Для входного импульса в момент t = 0 выходной сигнал после момента t = п становится нулевым.

Скользящее среднее — это простой метод, но он имеет определенные ограни­чения. При использовании одинаковых коэффициентов фильтр может быть из­лишне инертным и недостаточно быстро реагировать на реальные изменения во входном сигнале. С другой стороны, если коэффициенты различны и убывают для больших значений индекса n, то это затрудняет анализ свойств фильтра.

Экспоненциальный фильтр (exponential filter) — это авторегрессионный фильтр скользящего среднего первого порядка, определяемый следующим уравнением

Отфильтрованное значение у(kh) вычисляется суммированием предыдущего значе­ния отфильтрованного сигнала y[(k -1)h] и последнего значения y(kh) измерительного сигнала с весовыми коэффициентами. Коэффициент a лежит в интервале меж­ду 0 и 1. Уравнение (5.10) можно переписать в виде

т. е. экспоненциальный фильтр уточняет отфильтрованное значение на выходе сразу, как только на вход поступает новое значение. Это уточнение невелико и становится еще меньше для значений а, близких к 1; в этом случае появляется эффект инерционности. Уменьшение шумовых компонентов выходного сигнала происходит за счет слабого со­ответствия с реальными изменениями на входе. При а, близком к нулю, величина по­правки растет. Соответственно, фильтрация шума уменьшится, однако изменения ис­ходного сигнала будут отслеживаться более точно. При a = 0 сигнал на выходе идентичен сигналу на входе. Влияние величины а на реакцию фильтра при скачке зашумленного входного сигнала проиллюстрировано на рис. 3.19.

Цифровые фильтры низкой частоты высоких порядков

Аналоговый фильтр второго порядка более эффективен для подавления высокочастотных компонентов, чем фильтр первого порядка (раздел 5.3.2). Цифровой фильтр со структурой, определяемой уравнением (5.9), при п = т = 2 соответствует аналоговому фильтру второго порядка. Соединив последовательно два экспоненциальных фильтра первого порядка, получим фильтр второго порядка с двумя одина­ковыми частотами среза

где у — значение входного сигнала, у₁ — выходной сигнал первого фильтра, а у₂ — выходной сигнал второго фильтра. Свойства фильтра определяются параметром а. Если исключить переменную y₁(kh), то цифровой фильтр второго порядка можно записать в следующем виде

Результат применения фильтра второго порядка к сигналу, изображенному на рис. 3.19, показан на рис. 3.20. Фильтр второго порядка эффективнее подавляет высокие частоты, поэтому можно выбрать меньшее значение а. Выходной сигнал этого фильтра точнее соответствует изменениям входного сигнала, чем у фильтра первого порядка.

Влияние экспоненциального фильтра второго порядка при разных значени­ях параметра а

Цифровые фильтры высокой частоты

В некоторых случаях необходимо выделить высокочастотные компоненты сигналa, а не плавные изменения. Поэтому сигнал должен быть обработан фильтром высо­кой частоты. Разностная схема — это простой пример цифрового фильтра высокой частоты (digital high pass filter)

Выходной сигнал отличен от нуля только тогда, когда есть изменения во входном сигнале.

Цифровой ФВЧ можно также получить разностной аппроксимацией аналогового ФВЧ.

Соответствующее дифференциальное уравнение аналогично равнению

де у — это входной сигнал, а у — выходной.

Применив к этому уравнению аппроксимацию разностями "вперед", получим цифровой ФВЧ

Преимущества:

Преимуществами цифровых фильтров перед аналоговыми являются:

Высокая точность (точность аналоговых фильтров ограничена допусками на элементы).

Стабильность (в отличие от аналогового фильтра передаточная функция не зависит от дрейфа характеристик элементов).

Гибкость настройки, лёгкость изменения.

компактность — аналоговый фильтр на очень низкую частоту (доли герца, например) потребовал бы чрезвычайно громоздких конденсаторов или индуктивностей.

[править]

Недостатки:

Недостатками цифровых фильтров по сравнению с аналоговыми являются:

Трудность работы с высокочастотными сигналами. Полоса частот ограничена частотой Найквиста, равной половине частоты дискретизации сигнала. Поэтому для высокочастотных сигналов применяют аналоговые фильтры, либо, если на высоких частотах нет полезного сигнала, сначала подавляют высокочастотные составляющие с помощью аналогового фильтра, затем обрабатывают сигнал цифровым фильтром.

Трудность работы в реальном времени — вычисления должны быть завершены в течение периода дискретизации.

Для большой точности и высокой скорости обработки сигналов требуется не только мощный процессор, но и дополнительное, возможно дорогостоящее, аппаратное обеспечение в виде высокоточных и быстрых ЦАП и АЦП.

Дата добавления: 2014-01-04