Вычисление производных

Ошибки полуаналитических методов.

Погрешности метода Тастина

Погрешности экстраполяционного метода прямоугольников.

ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТОДОВ

5.1 Точное решение на шаге.

Оценку погрешностей численных решений будем производить для уравнения первого порядка

(5.1)

Точное решение на шаге, в соответствии с (4.14), имеет вид:

(5.2)

В качестве входного воздействия примем экспоненту:

(5.3)

При входном воздействии (5.3) ряды (5.2) легко суммируется, и точное решение можно записать в нескольких формах:

(5.4)

В соответствии с (5.3), при t = kh

; (5.5)

Точное решение на шаге уравнения (5.1) для входного воздействия (5.3) получим из (5.4) с учетом (5.5):

(5.6)

5.2. Погрешности интерполяционного метода прямоугольников.

Операторная форма численного решения уравнения (5.1) имеет вид:

(D-a)x=Ry (5.7)

Для интерполяционного метода прямоугольников, в соответствии с (3.16),

D=(z-1)/hz.

Подставив это в (5.7), перейдем к приближенному разностному уравнению:

(5.8)

Из(5.6) и (5.8) сформируем локальную ошибку на шаге:

(5.9)

Используя разложения в ряды, вычислим коэффициенты ошибок и для интерполяционного метода прямоугольников:

(5.10)

Для данного метода, в соответствии с (3.18),

Подставив это в (5.5), получим приближенное разностное уравнение:

(5.11)

Точное разностное уравнение для входного воздействия (5.3) получим из (5.4) и (5.5):

(5.12)

Из (5.11) и(5.12) сформируем локальную ошибку:

Отсюда вычислим коэффициенты ошибок для экстраполяционного метода прямоугольников: (5.13)

Для метода Тастина, (3.20),

Из (5.5) с учетом (5.7), получим приближенное разностное уравнение:

(5.14)

Из (5.12) и (5.14) найдем локальную ошибку:

Отсюда вычислим коэффициенты ошибок для метода Тастина:

(5.15)

Выражение (5.2) точного решения на шаге уравнения (5.1) позволяет сформировать приближенный алгоритм вычислений.

Удерживая в разложении (5.2) члены до включительно, можем записать:

(5.16)

Здесь и - приближенные значения производных от входного возмущения, вычисленные тем или иным способом по имеющимся отсчетам самого возмущения y(k).

Пусть

; (5.17)

Здесь и - погрешности определения производных.

Сформировав разность между приближенным (5.16) и точным (5.2) решениями с учетом (5.17),получим выражение для локальной погрешности:

(5.18)

Сравнивая это выражение с ошибками операторных методов, например с (5.9), можно видеть, что для полуаналитических методов коэффициент ошибки всегда равен нулю.

Оценку погрешностей вычисления производных будем производить для экспоненциального входного возмущения (5.3) с учетом (5.5).

Точные значения производных и значения близлежайших отсчетов при этом будут:

(5.19)

Экстраполяционную оценку первой производной, не содержащую y(k+1), примем в виде:

(5.20)

Ошибку по производной получим из (5.19) и (5.20):

(5.21)

Интерполяционную оценку первой производной примем:

(5.22)

Ошибку по производной вычислим из (5.19) и (5.22):

(5.23)

Более точной интерполяционной оценкой производной является выражение:

(5.24)

Ошибка такой оценки, с учетом (5.19) и (5.24), имеет вид:

(5.25)

Экстраполяционную оценку второй производной можно сформировать следующим образом:

(5.26)

Используя (5.19) и (5.26), можно получить ее ошибку:

(5.27)

Интерполяционную оценку второй производной примем в виде:

(5.28)

Тогда, используя (5.19) и(5.28), получим ее ошибку:

(5.29)

Экстраполяционные соотношения (5.20) и(5.21), (5.26) и(5.27) менее точны, чем интерполяционные,но не содержат y(k+1).

Из интерполяционных соотношений для (5.22), (5.23) и (5.24).(5.25) точнее последние, а для более точными являются (5.28) и (5.29).

Дата добавления: 2014-01-04