Работа цифрового фильтра в реальном времени

Интерполяционный полуаналитический метод.

Экстраполяционный полуаналитический метод.

Численное решение на шаге для экстраполяционного метода получим из (5.16),подставив туда значения производных из (5.20) и (5.26):

(5.30)

Дискретная передаточная функция, соответствующая разностному уравнению

(5.30), имеет вид;

(5.31)

Для оценки погрешности экстраполяционного полуаналитического метода при входном возмущении (5.3) в уравнение погрешности (5.18) подставим выражение (5.21) и (5.27), не содеожащие y(k+1). Перемножив отрезки рядов и собрав коэффициенты при степенях h, получим:

(5.32)

Сравнивая выражение (5.32) с ошибкой экстраполяционного метода прямоугольников (5.13) можно видеть, что полуаналитический метод точнее на порядок малости h.

Заметим также. что при ступенчатом входном возмущении, когда a в (5.3) равна нулю, погрешность полуаналитического метода равна нулю. если можно пренебречь конечностью разрядной сетки ЦВМ.

Численное решение на шаге для интерполяционного метода получим из (5.16), подставив в него значения производных (5.24) и (5.28):

(5.33)

Соответствующая (5.33) дискретная передаточная функция будет:

(5.34)

Подставив в уравнение погрешности (5.18) интнрполяционные выражения ошибок производных (5.25) и (5.29) и произведя необходимые выкладки, можем получить:

(5.35)

Сравнивая это с выражением (5.15) погрешностей для метода Тастина, можно видеть, что (5.35) точнее на порядок малости h, а при ступенчатом входном возмущении, при a=0, ошибка равна нулю.

РАЗДЕЛ 6

Включение цифрового фильтра в систему управления непрерывным объектом производится по схеме, представленной на рис.7

ЦАП

ЦВМ

АЦП

y x

АЦП

апа

рис.7

Схема системы с цифровым фильтром.

y

h y(t₀+h)

y*(t₀)

t₀

x t₁ x_ср(t+h)

t₂ h/2 h/2

Dt

t₄

t

t

t₀ tэ

t

рис 8.

Временная диаграмма одного цикла вычислений.

В момент времени, обозначающий начало цикла, подается команда на АЦП на снятие очередного отсчета

На выходе ЦАП при этом установлено значение, вычисленное в предыдущем цикле.

В ЦВМ отсчет появится в момент, где -время срабатывания АЦП, после чего производятся вычисления очередного отсчета по x. На вычисление затрачивается время, и в момент времени

в ЦВМ образуется отсчет.

Команда на установку на ЦАП значения подается в момент времени

, где -специально вводимая задержка, которая может быть равной нулю.

В момент времени, где -время срабатывания ЦАП, на выходе последнего появляется значение.Начиная с момента ЦВМ готова к выполнению следующего цикла, который начинается в момент времени

Очевидным условием возможности работы ЦВМ в реальном времени является соотношение

, (6.1)

предъявляющее требования к быстродействию всех элементов.

Известно [5], что операция экстраполяции нулевого порядка сама по себе приводит к запаздыванию усредненного значения выходной величины относительно входной на величину

, (6.2)

что иллюстрируется графиком на рис.9.

x

x₁

t₄

x₂ h

t

рис.9

Запаздывание экстраполятора нулевого порядка

На рис.9 обозначено:

-непрерывная кривая на входе экстраполятора.

-ступенчатая кривая на выходе экстраполятора.

-непрерывная кривая, проведенная через середины отрезков интерполяции.

На рис.8 середина интервала экстраполяции обозначена моментом времени

Таким образом, ЦВМ и ЦАП создают запаздывание t величины (t_o+h) относительно:

(6.3)

Влияние запаздывания (6.3) на динамику замкнутой системы зависит от алгоритма цифровой реализации фильтра.

6.1. Влияние запаздывания при интерполяционных алгоритмах.

В интерполяционных алгоритмах, как уже указывалось, для вычисления x(k+1) необходимо измерить y(k+1).Цикл, представленный на рис.8 начинается с момента времени =(k+1)h, поэтому y()=y(k+1).

В этот момент времени x(k+1) еще не вычислено, поэтому x()=x(k).

Величина (6.3) является чистым запаздыванием, вносимым в систему цифровым фильтром. В зависимости от быстродействия цифровых элементов чистое запаздывание, согласно (6.3),лежит в пределах:

(6.4)

Нижний предел (6.4) реализуется при бесконечном быстродействии цифровой части, т.е. при =0. В этом случае запаздывание определяется только экстраполятором. Верхний предел реализуется на границе условия (6.1), т.е. при

.

6.2. Влияние запаздывания при экстраполяционных алгоритмах.

В экстраполяционных алгоритмах для вычисления x(k+1) необходимо измерить y(k). В этом случае на рис.8

Вычисление величины x(k+1) начинается за шаг h до наступления момента времени, к которому относится отсчет x(k+1). Этот отсчет появляется в ЦВМ до наступления момента времени.

В этом случае чистым запаздыванием t_э является величина, а не, как в случае интерполяционных алгоритмов:

(6.5)

При достаточно высоком быстродействии цифровых элементов, когда

(6.6)

выбором величины задержки Dt можно обеспечить нулевое запаздывание, или даже отрицательное, что соответствует опережению величины x_ср(t₀₊h) относительно момента времени (t₀+h).

В зависимости от быстродействия цифровых элементов запаздывание, с учетом (6.1), может лежать в пределах:

(6.7)

6.3. Цифровое моделирование замкнутой системы, не связанное с реальным временем.

В цифровой системе управления аналоговым объектом на выходе фильтра установлен ЦАП, являющийся экстраполятором нулевого порядка. Между моментами переключения ЦАП на вход аналогового объекта подается постоянная величина, что позволяет,для линейного объекта, получить точное аналитическое решение внутри интервала h.

Из временной диаграмы рис.8 видно, что необходимо иметь аналитическое решение уравнения объекта на интервале времени, при входном воздействии на объект, равном, и решение на интервале при входном воздействии.

Аналитические выражения для решений на этих интервалах можно получить из раздела 4.1, где нужно положить

При наличии нулевых и кратных корней характеристического уравнения объекта аналитическое решение нужно получить применительно к рассматриваемому частному случаю.

Моделирование систем для нелинейных объектов требует применения общих программ и их пакетов для решения систем дифференциальных уравнений.

В этих случаях при решении уравнений объекта на интервале внутри шага h дискретизации фильтра применяются более мелкие шаги интегрирования.

Дата добавления: 2014-01-04