Теплове випромінювання

КВАНТОВА ОПТИКА

Випромінювання електромагнітних хвиль нагрітими тілами називається тепловим випромінюванням. Джерелом енергії для теплового випромінювання є внутрішня енергія тіла. Теплове випромінювання – єдиний вид випромінювання, який може знаходитися у рівновазі з випромінюючим тілом, тобто кількість випроміненої в одиницю часу енергії дорівнює кількості поглиненої енергії. Здатність теплового випромінювання знаходитися у рівновазі з випромінюючим тілом обумовлена тим, що його інтенсивність зростає при підвищенні температури.

Для характеристики теплового випромінювання використовують:

1. Потік енергії Ф_е – кількість енергії, що випромінюється ї за одиницю часу

Ф_е=dW/dt (Вт).

Миттєве значення потоку енергії дорівнює першій похідній за часом від енергії, яку випромінює тіло.

2. Енергетична світимість тіла R_e – це потік енергії, який випромінюється одиницею площі поверхні тіла по всіх напрямках

R_e=dФ_e /ds (Вт/м²).

3. Введемо dR_ω – потік енергії, що випромінюється одиницею поверхні в інтервалі частот dω. Ця величина пропорційна довжині dw інтервала частот

dR_w=r_w dω.

Коефіцієнт пропорційності r_w називається випромінювальною здатністю тіла

r_w=dR_w /dω (Дж/м²). (7.1)

Випромінювальна здатність – це потік енергії з одиниці поверхні в одиничному інтервалі частот, тобто спектральна густина енергетичної світимості.

З урахуванням формули (7.1) енергетична світимість тіла визначається формулою

R_e=òdR_w=òr_w dω.

4. Поглинальна здатність тіла a_w – це відношення поглинутого потоку dФ′_ω в інтервалі частот dω до падаючого потоку dФ_w в тому ж інтервалі частот

a_w=dФ¢_w /dФ_w.

Якщо а_w=1, тобто тіло поглинає усе падаюче на нього випромінювання і нічого не відбиває, то таке тіло називається абсолютно чорним.

Гарною моделлю абсолютно чорного тіла є сажа. Найкращою моделлю є внутрішня порожнеча в тілі з малим отвором. У такій порожнечі промінь світла, що потрапив у середину, багато разів перевідбивається, тому ймовірність його виходу практично дорівнює нулю і він повністю поглинається.

§2. Закони теплового випромінювання

Закон Кірхгофа. Відношення випромінювальної і поглиненої здатностей не залежить від природи тіла і є для всіх тіл однією і тією ж функцією частоти і температури

r_w,T /a_w,T = f (w,T).

Для абсолютно чорного тіла (будемо помічати його параметри зіркою) a^*_w,T = 1 і тому

f (w,t)=r^*_w,T ,

тобто універсальна функція Кірхгофа f(w,t) є випромінювальною здатністю абсолютно чорного тіла. Тоді для енергетичної світимості абсолютно чорного тіла отримаємо

R^*_e=.

Таким чином, функція Кірхгофа f(w,t) визначає розподіл енергії в спектрі випромінювання абсолютно чорного тіла і є спектральною густиною енергетичної світимості абсолютно чорного тіла.

Графіки функції Кірхгофа залежно від довжини хвилі випромінювання для різних температур тіла наведено на рис. 86.

Перехід від f(w,t) до f(l,t) здійснюється за формулою

Рис. 86

f(w,t)=2p c f (l,t) /w².

При тепловому випромінюванні одночасно випромінюється увесь спектр довжин електромагнітних хвиль від 0 до. Але хвилі різної довжини переносять різну енергію. Довжина хвилі, яка переносить максимальну енергію (вона відповідає максимуму функції f(l,t)) позначається l_m. При збільшенні температури хвилі всіх довжин переносять більшу енергію, а максимум f(l,t) зміщується у область більш коротких довжин хвиль. Останнім і пояснюється зміна кольору металевого тіла при нагріванні від малинового до білого. При нагріванні до „білого кольору“ у максимум функції f(l,t) потрапляють всі хвилі оптичного діапазону, а він дуже вузький (0,4 – 0,7)×10^{-6 м.}

Закон Стефана-Больцмана. Енергетична світимість абсолютно чорного тіла пропорційна четвертому ступеню абсолютної температури

R_e* = s T⁴,

де s = 5,7×10^-8 (Вт/м ²К) – стала Стефана-Больцмана.

Закон Вина. При підвищенні температури довжина хвилі l_m, на яку припадає максимум функції спектрального розподілу f(l,T), зменшується, але добуток l_m T залишається сталим

l_mT = b,

де b =2,9 10^-3 (мК) – стала Віна.

§3. Формула Релея-Джинса

Ультрафіолетова катастрофа. Релей і Джинс зробили спробу визначити функцію спектрального розподілу f(w,Т), виходячи з теореми класичної статистики про рівнорозподіл енергії за ступенями вільності. Електромагнітне поле теплового випромінювання вони розглядали як безперервне середовище електромагнітних коливань із середньою енергією коливання <e>. Тоді спектральна функція енергетичної світимості абсолютно чорного тіла

f(w,t)=cw/4,

де c – швидкість світла у вакуумі, w – густина енергії електромагнітного поля, яка визначається за формулою

w=n <e>,

де n – кількість електромагнітних коливань в одиниці об’єму

n=w²/4p²c³.

Тоді

f(w,Т)=(w²/4p²c²)<e>.

Згідно із класичною теорією рівнорозподілу енергії за ступенями вільності, середня енергія, що припадає на одну ступінь свободи, дорівнює kT/2. Електромагнітне коливання має дві ступені свободи: одна ступінь свободи припадає на електричну компоненту коливання, інша – магнітну. В результаті середня енергія електромагнітного коливання

< e > = kT, (7.2)

де k – стала Больцмана, Т – абсолютна температура. У формулі (7.2) половина kТ припадає на електричну енергію, інша половина – на магнітну енергію коливання.

В результаті одержимо

f(w,T)=(w²/4p²c²)kT. (7.3)

Формула (7.3) називається формулою Релея-Джинса. Формула Релея-Джинса задовільно збігається із дослідними даними (див. рис. 87) лише при великих довжинах хвиль і повністю розходиться із дослідом для малих довжин хвиль (починаючи із ультрафіолетових). Це розходження у фізиці отримало назву ультрафіолетової катастрофи.

Рис. 87

Виведення формули Релея-Джинса з класичної точки зору (з позиції класичної статистичної фізики і класичної електродинаміки) є бездоганним. Тому розходження цієї формули з дослідом вказувало на існування деяких закономірностей, які несумісні з уявленнями класичної статистичної фізики і класичної електродинаміки.

§4. Формула Планка

У 1900 р. Планку вдалося знайти вигляд функції f(w,Т), яка точно збігалася із дослідною. Для цього йому прийшлося зробити припущення, яке було зовсім чуже класичним уявленням і полягало в тому, що електромагнітне випромінювання породжується у вигляді окремих порцій (квантів) енергії, величина яких пропорційна частоті

e =ħ w,

де w=2pn – циклічна частота (v – частота), ħ=h/2p, h – стала Планка (h=6,62·10^-23 Дж с).

Якщо випромінювання породжується порціями ħw, то його енергія e_n повинна бути кратною енергії кванта

e_n=nħw (n=0,1,2,…).

Відповідно до закону Больцмана ймовірність P_n того, що енергія випромінювання має величину e_n, визначається виразом

P_n=A exp (–e_n/kT)=Aexp(–nħw /kT).

Нормуючий множник А знаходиться з умови, що сума всіх Р_n повинна дорівнювати одиниці.

Середнє за часом значення енергії випромінювання частоти w визначається формулою

<e>= å P_n e_n= . (7.4)

Формула (7.4) дає середнє значення енергії квантового коливання. При ħ ® 0, формула (7.4) переходить у класичну формулу середньої енергії електромагнітного коливання <e>=kT.

Замінивши у формулі Релея-Джинса класичне значення середньої енергії коливання на квантове (7.4), отримаємо формулу Планка

. (7.5)

Формула (7.5) повністю збігається із дослідом у всьому інтервалі частот від 0 до ¥. Вона задовольняє законам Віна і Стефана-Больцмана

R_e*== s T⁴.

Таким чином, формула Планка (7.5) дає вичерпний опис рівноважного теплового випромінювання.

§5. Фотони

Для пояснення розподілу енергії у спектрі рівноважного теплового випромінювання достатньо, як показав Планк, припустити, що світло випромінюється порціями ħw. Для пояснення явищ гальмівного рентгенівського випромінювання, фотоефекту достатньо припустити, що світло поглинається такими ж порціями. Однак Ейнштейн пішов значно далі. Він висунув гіпотезу, яку пізніше було дослідно підтверджено, що світло і поширюється у вигляді дискретних частинок, які спочатку назвали світловими квантами, а пізніше вони отримали назву фотонів. Отже, було дослідно доведено існування особливих світлових частинок – фотонів.

Енергія фотона. Фотон має енергію

e =ħw =ħс/l.

Маса фотона. Згідно з теорією відносності частинка з енергією e має масу

m=e /c²=հn /c²=հ /cl. (7.6)

Фотон є частинка, що рухається з швидкістю світла c. Підстановка у формулу для маси релятивістської частини

, (7.7)

значення v=c обертає знаменник (7.7) у нуль. Разом з тим, як ми бачимо з формули (7.6), маса фотона є кінцевою величиною. Це можливе тільки у тому випадку, якщо маса спокою m₀ фотона дорівнює нулю.

Таким чином, фотон особлива частинка. Він суттєво відрізняється від таких частинок, як електрон, протон, нейтрон, для яких маса спокою не дорівнює нулю і які можуть знаходитися у стані спокою. Фотон не має маси спокою і може існувати тільки рухаючись з швидкістю світла с.

Імпульс фотона. Оскільки, для фотона m₀ = 0, то зв’язок між енергією і імпульсом має вигляд

e = cp.

Звідси імпульс фотона

p = e /c=հn /c=հ /l.

Отже світло повинно здійснювати тиск, який і було виміряно у дослідах Лєбєдєва.

Тиск світла визначається формулою

p=(1+r)en/c,

де n – густина потоку фотонів (кількість фотонів, що падають на одиницю поверхні за одиницю часу), r – коефіцієнт відбиття фотонів. При освітленості Е=50 лк і довжині хвилі l= 0,55 ·10^{-6 м (зелене світло) на} 1 см² надає 2·10¹³ фотонів за 1 с. Око людини починає реагувати на світло при потраплянні в нього приблизно 100 фотонів за 1 с.

Таким чином, світло виявляє корпускулярно-хвильовий дуалізм (двоякість). В одних явищах (інтерференція дифракція) проявляється його хвильова природа і він поводить себе як електромагнітна хвиля, в інших (теплове випромінювання, фотоефект, гальмівне рентгенівське випромінювання) – світло поводить себе як потік фотонів.

ГЛАВА 8

Дата добавления: 2014-01-04