Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Аппроксимация посредством многочлена Ньютона


Аппроксимация производных посредством глобальной интерполяции

 

Предположим, что функция f(x), заданная в виде таблицы с постоянным шагом h = xixi–1 (i = 1,2,…, n) может быть аппроксимирована интерполяционным многочленом Ньютона:

. (9)

Дифференцируя (9) по переменной x как функцию сложную:

можно получить формулы для получения производных любого порядка:

;

(10)

Следует заметить, что точность ЧД для выбранного x будет существенно зависеть от значений функции во многих узлах, что не предусмотрено в соотношениях (2) – (4).

Пример. Для функции заданной таблично

x y Dy D2y D3y D4y D5y
1,2833          
0,1 1,8107 0,5274 0,0325 0,0047 0,0002 0,0000
0,2 2,3606 0,5599 0,0372 0,0049 0,0002  
0,3 2,9577 0,5971 0,0421 0,0051    
0,4 3,5969 0,6392 0,0472      
0,5 4,2833 0,6864        

вычислить в точке x = 0,1 первую f '(x) и вторую f "(x) производные. Здесь h=0,1; t = (0,1 – 0)/0,1 = 1. Предварительно вычислим конечные разности для (10).

Используя формулы (10), находим:

y' » 10× (0,5274+((2×1–1)/2)×0,0325+0,0047×(3×1–6×1+2)/6+0,0002×(4×1–

–18×1+22×1–6)/24) = 5,436;

y" » 100× (0,0325+0,0047×(6×1–6)/6+0,0002×(12–36+22)/24) = 3,25.

Замечание. В расчетной практике численного дифференцирования интерполяционные многочлены Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя используются в несколько иной форме, так как формулы ЧД применяют для нахождения производных в равностоящих узлах xi = x0 + ih (i = 0, ±1, ±2, …), то любую точку сетки можно принять за начальную и формулы ЧД записывают для точки x0. А это равносильно подстановке в них t = (x x0)/h = 0. Тогда дифференцирование многочленов приводит к следующим формулам.



По Ньютону:

; (а)

;

; (б)

.

Формулы (а) применяются для начальных строк таблиц, а (б) – для последних строк таблицы. Тогда по Стирлингу:

; (с)

.

Формулы (с) – для дифференцирования в середине таблицы.

Пример. Использование формул (а) и (с) для функции y = sh2x с h = 0,05. Найти y' и y" в точках х = 0,00 и х = 0,1. Возьмем расчетную таблицу для y = f(x) в виде:

x y = f(x) Dу D2у D3у D4у D5у
0,00 0,0000          
           
0,05 0,10017        
         
0,10 0,20134      
       
0,15 0,30452      
         
0,20 0,41075        
           
0,25 0,52110          

Решение. Воспользуемся формулами ЧД на основе интерполяционных многочленов. Составим таблицу конечных разностей. Она продолжилась до разностей 4-го порядка, т.к. дальше получится «0».

Для точки x = 0,0 используем формулы (а), считая х0 = 0,0:

y ' | x = 0,0 » =

= 20 × (0,10017 – 0,00050 + 0,0034 – 0,00001) = 2,0000;

y " | x = 0,0 » =

= 400 × (0,00100 – 0,00101 + 0,00003) = 0,008.

Для точки x = 0,1 используем формулы (c), считая х0 = 0,1:

y ' | x = 0,1 » =

= 20 × (0,10217 – 0,00017) = 2,0400;

y " | x = 0,1 » = 400 × (0,00201 – 0,00000) = 0,804.

Для сравнения приведем точные значения первой и второй производных функции y = sh2x:

y' = 2ch2x: для x = 0,0: y' = 2; а для x = 0,1: y' = 2,0401;

y" = 4sh2x: для x = 0,0: y" = 0; а для x = 0,1: y" = 0,8052.

Интерполяционный многочлен (9) и его интерпретации (Стирлинга, Гаусса) для вычисления производной в середине и в конце отрезка определения f(x) дают выражение для производной через конечные разности . Однако на практике выгоднее иногда выражать значения производных непосредственно через значения yi.

Ответ на этот вопрос дает интерполяционный многочлен Лагранжа для равномерной сетки интерполяционных узлов.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Погрешность численного дифференцирования | Вычисление производных на основании многочлена Лагранжа

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 599; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.