Многошаговые методы, использующие неявные разностные схемы

На практике они называются методами прогноза и коррекции или (методами предиктор-корректор).

Суть их состоит в том, что на каждом шаге расчета вводятся 2 этапа, использующие многошаговые методы:

а) с помощью явного метода (предиктора) по известным значениям функции в предыдущих узлах находится начальное значение y_{i+ 1} = в новом узле;

б) используя неявный метод (корректор) в результате итераций находятся приближения ,... Посредством корректора итерации продолжаются до тех пор, пока и не совпадут по желаемой точности и затем осуществляется переход к следующей точке сетки, т.е. по рассмотренному выше алгоритму определяется значение y_{i+ 2}. Одним из вариантов метода прогноза и коррекции является метод на основе метода Адамса четвертого порядка.

Вид разностных соотношений на этапе предиктора

; (27)

на этапе корректора

. (28)

В (27) и (28) используются не D f_i (конечные разности), а значения правой части (4), что удобнее для реализации на ЭВМ. Явная схема (27) используется на каждом шаге лишь один раз, а с помощью неявной схемы (28) строится итерационный процесс вычислений y_{i +1}, поскольку это значение входит в правую часть выражения f_{i+ 1} = f (x_{i+ 1}, y_{i+ 1}).

В данных формулах, как и в случае метода Адамса, при вычислении y_{i +1} необходимы значения сеточной функции в четырех предыдущих узлах: y_{i– 3}, y_{i– 2}, y_{i– 1}, y_i. Расчет по этому методу может быть начат только со значения y ₄.

Необходимые при этом значения y ₁, y ₂ и y ₃ находятся по методу Рунге-Кутта, y ₀ задается начальным условием.

Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений, а также на дифференциальных уравнений n -го порядка.

Дата добавления: 2014-01-04