Лекция 8 электростатика. Часть II

8.1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

8.1.1 Работа по переносу заряда в электрическом поле

8.1.2 Потенциал – энергетическая характеристика электрического поля. Графическое отображение потенциала (эквипотенциальные линии)

8.1.3 Связь потенциала и напряжённости электрического поля

8.1.4 Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

8.1.5 Примеры применения теоремы Гаусса для электрического поля в вакууме

Некоторые примеры

Вопросы для повторения

8.1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСОКОГО ПОЛЯ

8.1.1 Работа по переносу заряда в электрическом поле

Решая задачи механики, мы убедились в том, что использование понятий «работа» и «энергия» позволяет получать ответы даже в тех случаях, когда в ходе перемещения тела силы, действующие на него, менялись по величине. Подобная проблема особенно актуальна в неоднородном электрическом поле, ведь даже сила взаимодействия двух точечных зарядов существенным образом зависит от расстояния между ними.

Для описания изменения энергии заряженных тел в электрическом поле вводится энергетическая характеристика этого поля, которая называется потенциалом.

Об электрическом поле мы говорим, поскольку в каждой точке пространства на заряд, помещаемый в это поле, действует определённая сила (Кулона). Силы электростатического поля являются консервативными (их работа не зависит от формы траектории, по которой перемещается тело, а определяется лишь его начальным и конечным положениями). Работа сил такого поля равна убыли потенциальной энергии тела.

Рассчитаем работу, которую совершают силы электрического поля перемещая один точечный заряд q, находившийся изначально на расстоянии r ₁ от второго точечного заряда Q того же знака в точку, в которой расстояние между зарядами станет равным r ₂.

По определению, работа переменной силы при перемещении тела из точки 1 в точку 2: A = = . В нашем случае угол a между направлением силы и направлением перемещения первого заряда равен нулю (заряды отталкиваются), а сама сила F описывается выражением, входящим в закон Кулона, поэтому

A = = = = = = .

Последнее выражение можно интерпретировать, как убыль потенциальной энергии: A = W _П1 - W _П2. Полагая, что на бесконечности (при r → ∞ заряды практически перестают взаимодействовать, F → 0) потенциальная энергия равна нулю (то есть при r ₂ → ∞ W _П2 → 0), получаем выражение для потенциальной энергии в точке 1 поля: W _П1 = . Такую же формулу можно записать для потенциальной энергии заряда q в любом другом месте поля, создаваемого точечным зарядом Q:

W _П = . (8.1)

Очевидно: потенциальная энергия W _П численно равна работе A _∞, которую необходимо совершить силам поля с тем, чтобы переместить положительный заряд из данной точки на бесконечность.

В электрическом поле, создаваемом не одним, а несколькими зарядами потенциальная энергия заряда q равна алгебраической сумме значений потенциальной энергии в полях, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

W _П = = q j (8.2)

(здесь j – результирующий потенциал электрического поля в данной точке).

На основе данной формулы можно получить, что при перемещении заряда q из точки поля с потенциалом j₁ в точку с потенциалом j₂ силы поля совершают работу A = q (j₁ - j₂), или, введя обозначение j₁ - j₂ = U, запишем для работы сил поля

A = qU. (8.3)

Замечание: Символом U в разделе «электричество» принято обозначать падение напряжения на участке цепи. В общем случае (например, если рассматриваемый участок содержит батареи, аккумуляторы), понятия разность потенциалов и падение напряжения не совпадают. В электростатике, однако, мы не рассматриваем работу источников тока, и в этом случае отличия между данными понятиями нет: можно говорить, что U это разность потенциалов электрического поля в двух выбранных точках, а можно – что это падение напряжения (или напряжение) на участке между этими точками.

Замечание:

Если после перемещения в поле по замкнутому контуру l заряд q вернули в исходную точку (r ₁ = r ₂), работа сил электростатического поля окажется равной нулю, поскольку W _П1 = W _П2. Это можно отобразить так:

A = = 0.

Из определения напряжённости электрического поля = q, следовательно,

= q = 0, то есть в электростатическом поле

= 0. (8.4)

В математике интеграл вида называют циркуляцией вектора , поэтому можно сказать: в электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю.

8.1.2 Потенциал – энергетическая характеристика

электрического поля. Графическое отображение потенциала (эквипотенциальные линии)

С потенциальной энергией заряда тесно связана энергетическая характеристика электрического поля: потенциал j.

Потенциалом электрического поля в заданной точке называется отношение потенциальной энергии положительного пробного заряда, помещаемого в эту точку поля, к величине заряда:

j = . (8.5)

В СИ потенциал электрического поля измеряется в вольтах, очевидно, что 1 В = 1 Дж×Кл^-1.

С учётом того, что W _П = A _∞, иногда говорят, что потенциал численно равен работе, которую должны совершить силы поля с тем, чтобы переместить единичный пробный заряд из данной точки поля в бесконечность.

Выражение для W _П в поле точечного заряда мы вывели ранее – (8.1), поэтому, пользуясь определением, можем записать формулу для расчёта потенциала такого поля в точке, удалённой от заряда Q на расстояние r:

j = = . (8.6)

Так же, как и напряжённости электрического поля, для потенциала справедлив принцип суперпозиции, однако, в отличие от напряжённости, которая является вектором, потенциал – скаляр, может быть как положительным, так и отрицательным, и поэтому принцип звучит так: потенциал электрического поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.

Потенциал электрического поля можно отображать графически с помощью эквипотенциальных линий (и поверхностей) – линий, потенциалы во всех точках которых одинаковы. Их особенностями является то, что

– эквипотенциальные линии всегда замкнуты;

– эквипотенциальные поверхности и силовые линии всегда взаимно перпендикулярны.

Примеры картин эквипотенциальных линий приведены на рис. 8.1 и 8.2; силовые линии на этих рисунках проведены пунктиром.

8.1.3 Связь потенциала и напряжённости электрического поля

Если заряд q поместить в электрическое поле и затем отпустить его, то под действием сил поля, он начнёт двигаться и на малом первом участке пути dl вдоль силовой линии эти силы совершат работу

d A = = q ₀= q ₀ Edl × cos 0º = q ₀ Edl.

Но, поскольку работа сил поля равна убыли потенциальной энергии заряда, можно записать:

d A = - dW _П

(напомним, что в математике знак дифференциала означает бесконечно малое приращение: из нового значения функции мы вычитаем предыдущее; в нашем случае речь идёт об убыли, то есть, наоборот, нужно вычесть последующее значение функции из предыдущего, отсюда возникает знак «минус» перед dW _П).

Из определения потенциала следует, что dW _П = q ₀ d j, поэтому запишем: d A = q ₀ Edl = - q ₀ d j, то есть при перемещении вдоль силовой линии

E = - . (8.7)

Если вектор перемещения разложить по осям координат X, Y, Z (единичные вектора по которым обозначим , , ), связь между напряжённостью и потенциалом электрического поля может быть представлена в виде

= - grad j, (8.8)

где символ grad j означает вектор вида

grad j = + + .

Соотношения (8.7) и (8.8) позволяют по заданной зависимости E (x, y, z) находить функцию j(x, y, z).

8.1.4 Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

Как мы уже отмечали, если хотя бы один из взаимодействующих зарядов нельзя считать точечным, равномерно заряженным шаром или сферой, для вычисления силы электростатического взаимодействия используют силовую характеристику поля – его напряженность в данной точке. Зная напряжённость, мы находим силу (= q), действующую на заряд q в этой точке, вычисляем его ускорение, определяем траекторию движения и т. д. Саму напряжённость можно рассчитать, пользуясь принципом суперпозиции, однако в ряде случаев в этих целях удобнее использовать теорему Гаусса.

Введём определение: если каждой точке пространства можно сопоставить некоторый вектор (например, – вектор ), то, выбрав в этом пространстве некоторую поверхность S, можно говорить о потоке вектора через эту поверхность S. Для вычисления потока поверхность S мысленно разбивают на много малых частей dS, каждой из которых сопоставляют вектор , по величине равный площади dS и направленный вдоль вектора нормали к поверхности выбранного участка (во всех случаях – к одной и той же стороне всей поверхности S). По определению потоком вектора через элемент называется скалярное произведение этих векторов: d F _A = ( ) = AdS×cos a, где a – угол между векторами и (см. рис. 8.3. а). Потоком вектора через всю поверхность S (рис. 8.3. б) называется интеграл вида

F _A =

В качестве вектора можно выбрать вектор силы (для описания поля сил), скорости (для описания движения частиц в струе жидкости), индукции магнитного поля и т. д. В теореме Гаусса для электрического поля в вакууме говорится о потоке F _E вектора напряженности электрического поля , при этом поток считается не через обычную поверхность, а через замкнутую, то есть разделяющую пространство таким образом, что проникнуть из одной его части в другую, не пронзив эту поверхность, невозможно.

Сформулируем теорему.

Поток вектора напряжённости электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен деленной на электрическую постоянную e₀ алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью:

= . (8.9)

Заметим: формула не является альтернативой тексту теоремы, поскольку из (8.9) не следует, что замкнутая поверхность может иметь любую форму (в том числе – такую, которая нам удобна для проведения вычислений); кроме того, глядя на выражение (8.9) невозможно сказать, о каких зарядах q_i идёт речь (учитываются только те, которые охватываются выбранной поверхностью!).

Вывод формул для напряжённости электрического поля с помощью теоремы Гаусса особенно прост в случаях полей, создаваемых симметричными заряженными объектами. Для вывода формул необходимо:

– Начертить рисунок с изображением заряженного тела и силовых линий создаваемого им электрического поля.

– Указать на рисунке точку, в которой мы будем рассчитывать величину напряжённости электрического поля, и провести сквозь эту точку силовую линию.

– Выбрать замкнутую поверхность, форма которой соответствовала бы симметрии задачи; поверхность должна проходить через выбранную точку.

– Посчитать поток вектора напряжённости электрического поля через выбранную поверхность (учитывая взаимную ориентацию отдельных частей поверхности и пронзающих их силовых линий).

– Определить, какой заряд охватывается выбранной поверхностью, после чего применить теорему Гаусса.

8.1.5 Примеры применения теоремы Гаусса для электрического поля в вакууме

а) Поле равномерно заряженной сферы

Рассмотрим сферу радиусом R и зарядом + Q. Она делит пространство на две область: внутри сферы (где зарядов нет) и снаружи от неё. Выражение для напряжённости создаваемого электрического поля получим для каждой из этих областей.

Для области вне сферы: рисуем чертёж, изображаем силовые линии, выбираем точку М, находящуюся на расстоянии r от центра сферы, проводим через неё одну из силовых линий, после чего выбираем замкнутую поверхность, соответствующую симметрии задачи и проходящую через эту точку. Очевидно, такой поверхностью будет сфера, центр которой совпадает с центром сферы, напряжённость электрического поля которой мы рассчитываем (рис. 8.4. а).

Теперь считаем поток вектора через выбранную поверхность, учитывая, что нормаль к её любому участку, например, – с точкой M, совпадает с силовой линией, проходящей через этот участок (угол a, который входит в формулу для потока, везде равен нулю):

F _E = = =

В силу симметрии выбранной поверхности напряжённость электрического поля в любой её точке должна быть одинаковой:

F _E = = .

Но по определению интеграла = S, где S = 4p r ² – площадь сферы; таким образом, F _E = 4p r ² E.

Применим теорему Гаусса: выбранной поверхностью охватывается весь заряд + Q, поэтому можно записать: 4p r ² E = , или, другими словами, напряженность поля вне заряженной сферы

E = . (8.10)

Для любой точки М ¢ в области, находящейся внутри заряженной сферы, можно выбрать сколь угодно много замкнутых поверхностей, проходящих через эту точку и при этом лежащих внутри заряженной сферы (рис. 8.4. б). По теореме Гаусса, так как ни одна из таких поверхностей не окружает заряд, то для них для всех F _E = 0, независимо от формы. Другими словами, в этом случае º 0 при любом S, а это возможно лишь если интеграл берётся от нуля, то есть внутри заряженной сферы E = 0.

Некоторые примеры

- В физике, как правило, потенциал электрического поля равным нулю выбирается на бесконечности; в электротехнике за нулевой потенциал часто принимают поверхность Земли.

- У живых клеток в покое между внутренним содержимым клетки и наружным раствором существует разность потенциалов порядка 60 – 90 мВ.

- Разность потенциалов между катодом и анодом внутри электронно-лучевой трубки цветного телевизора достигает 25 кВ.

- Разность потенциалов между Землёй и ионосферой составляет 200 – 250 кВ.

Вопросы для повторения

1. Что называется потенциалом электрического поля? В каких единицах она измеряется в СИ? Как отображается графически?

2. Выведите формулу для потенциала электрического поля, создаваемого точечным зарядом.

3. В чём заключается принцип суперпозиции в случае потенциала электрического поля? Ответ поясните рисунком.

4. Запишите формулы, связывающие напряжённость и потенциал электрического поля и поясните смысл входящих в эти формулы величин.

5. Изобразите картины эквипотенциальных линий электростатических полей, создаваемых уединёнными точечными зарядами, близко расположенными разноимёнными зарядами, обкладками плоского электрического конденсатора.

6. Сформулируйте теорему Гаусса для электрического поля; запишите соответствующую формулу и поясните смысл входящих в формулу величин.

7. Продемонстрируйте, как применяется теорема Гаусса для вычисления напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой.

Дата добавления: 2014-01-04