Примеры конкретных линейных пространств

1. – -мерное координатное пространство или совокупность строк содержащих – вещественных чисел. Операция сложения и умножения на число определены следующим образом:

а);

б).

Аксиомы 1-8 проверяются элементарно.

2. Множество всех положительных вещественных чисел. Под суммой [x+y]=x*y (будем понимать произведение), а под умножением [λ*x]=x^λ, тогда нулевым элементом множества будет являться 1, а противоположным x, , тогда аксиомы 1-8 легко проверяются.

3.Множество всех положительных вещественных чисел , где сумма и умножение на число определяются стандартным образом [x+y]=x+y, [λx]= λx не является линейным пространством.

4. Аналогично множество всех многочленов степени не является линейным пространством, т. к. сумма может оказаться степени < .

Определение. Линейной комбинацией элементов пространства называются выражения вида , где , говорят что - линейно зависимы, если , такие что , а .

- неявляющиеся линейно зависимыми называют линейно независимыми.

Определение. Совокупность линейно независимых элементов пространства называется базисом этого пространства, если для существуют (вещественные числа), такие, что справедливо равенство , где - координаты (коэффициенты) в базисе пространства .

Теорема. При сложении любых двух элементов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса) складываются; при умножении произвольного элемента на любые числа α все координаты этого элемента умножаются на α.

Доказательство. Пусть базис ,

и - два элемента .

Тогда в силу аксиом 1-8 ,

.

Определение. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n-линейно независимых элементов, а любые () элементы уже являются линейно зависимыми, – называют размерностью и обозначают . Линейное пространство называют бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.

Теорема. Если , то любые - линейно независимых элементов этого пространства образуют базис.

Если линейное пространство имеет базис, состоящий из элементов, следовательно, .

Определение (понятие линейного подпространства). Подмножество и удовлетворяющее условиям:

1. если , то ;

2. если ;

называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства R.

Определение. Линейной оболочкой элементов называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т. е. множество элементов вида , где (любые действительные числа), линейную оболочку принято обозначать как , ясно, что . равна максимальному числу линейно независимых элементов (которые составляют базис линейной оболочки).

Определение (новое определение ранга матрицы). Ранг произвольной матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (или столбцов) этой матрицы.

Дата добавления: 2014-01-04