Матричным способом

Система ЛАУ.

Ранг матрицы.

Ключевые понятия

План

УРАВНЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

Минченков Ю.В.

Минск 2004

Учебно-методическое пособие

УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

Ю.В. Минченков

УДК

ББК

М-

Автор

Ю.В.Минченков, заведующий кафедрой высшей математики и статистики,

кандидат физико-математических наук, доцент

Обсуждено и одобрено на заседании

кафедры высшей математики и статистики,

протокол № 3 от 12.10.2004г.

Рецензенты:

Т.А. Макаревич, кандидат физико-математических наук, доцент;

М.В. Чайковский, кандидат физико-математических наук, доцент

М- Системы линейных алгебраических уравнений. Учеб.-метод. пособие / Ю.В. Минченков.-Мн.: Част. ин-т управ. и предпр., 2004.- с.

ISBN

Пособие включает лекции, задачи и упражнения, индивидуальные задания по теории систем линейных алгебраических уравнений.

Предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения Частного института управления и предпринимательства.

УДК

ББК

ISBN

Ó Ю.В. Минченков, 2004

Ó Частный институт управления

и предпринимательства, 2004

1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений (ЛАУ). Решение системы ЛАУ матричным способом.

2. Формулы Крамера.

3. Совместность систем ЛАУ. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

4. Метод Гаусса.

Матричный способ решения системы ЛАУ.

Метод Гаусса.

Неоднородная система ЛАУ.

Несовместная система ЛАУ.

Однородная система ЛАУ.

Совместная система ЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли.

Формулы Крамера.

Эквивалентные матрицы.

1. ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (ЛАУ). РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛАУ

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида

(1)

Данная система может быть записана в матричном виде

АХ = В, (2)

где А = есть матрица системы (1), или матрица коэффициентов;

Х = есть матрица-столбец неизвестных; В = есть матрица-

столбец свободных членов.

Если В = 0, то система (1) называется однородной, если же В ≠ 0, то неоднородной.

Решением системы (1) называется всякая совокупность чисел , которая, будучи подставленной в систему, превращает каждое ее уравнение в тождество. Однако не каждая система линейных алгебраических уравнений имеет решение. Если не существует ни одной совокупности значений , удовлетворяющей заданным уравнениям системы, то система (1) называется несовместной. В противном случае, система (1) называется совместной. Совместная система может иметь или единственное решение, или бесконечное множество решений.

Пример 1.

– несовместная система (нет решений).

Пример 2.

– совместная система, имеющая единственное решение: .

Пример 3.

–совместная система, имеющая бесконечное множество решений: .

Рассмотрим матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Пусть в системе (1) m=n и det A ≠ 0 (матрица невырожденная). Следовательно, существует обратная матрица . Умножим обе части равенства (2) слева на : АХ = В ЕХ = В, отсюда

Х = В. (3)

Формула (3) является матричной записью решения системы линейных алгебраических уравнений. Так как обратная матрица единственная, то система (1) (или, что то же самое, система (2)) имеет единственное решение.

Пример. Решить систему линейных алгебраических уравнений матричным способом.

Решение.

1. Запишем основную матрицу системы: А=.

2. Найдем определитель матрицы А:

detA = =3ּ+(–1)ּ= 3ּ(4+1)+(–8–2)=5.

Так как detA=5≠0, то существует обратная матрица , и, следовательно, исходная система имеет единственное решение Х=В.

3. Найдем обратную матрицу :

– составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы А

==;

транспонируя матрицу , получим присоединенную матрицу

;

найдем обратную матрицу

==.

4. Найдем решение исходной системы, учитывая, что В = :

Х = = В = ּ = = .

Ответ:

Дата добавления: 2014-01-04