Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение числового ряда. Сходимость

Числовой ряд, сходимость, признаки сходимости

Лекция. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

 

1. Определение числового ряда. Сходимость.

2. Основные свойства числовых рядов.

3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.

5. Знакопеременные ряды.

 

 

Ключевые слова:

 

 

В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность

, , …, , …

Определение 1.1. Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида

. (1.1)

 

Числа называются членами ряда, общим или n– м членом ряда.

Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления -го члена ряда по его номеру

 

Пример 1.1. Пусть . Ряд

 

(1.2)

 

называется гармоническим рядом.

Пример 1.2. Пусть , Ряд

 

(1.3)

называется обобщенным гармоническим рядом. В частном случае при получается гармонический ряд.

Пример 1.3. Пусть =. Ряд

(1.4)

 

называется рядом геометрической прогрессии.

Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где – сумма первых членов ряда, которая называется n - й частичной суммой, т. е.

 

,

,

,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может:

1) иметь конечный предел;

2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).

Определение 1.2. Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е.

В этом случае число называется суммой ряда (1.1) и пишется

 

.

 

Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.

Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.

Таким образом задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.4. Доказать, что ряд

 

 

сходится, и найти его сумму.

Найдем n- ю частичную сумму данного ряда .

Общий член ряда представим в виде .

 

Тогда

Отсюда имеем: . Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:

 

 

Пример 1.5. Исследовать на сходимость ряд

 

(1.6)

 

Для этого ряда

 

. Следовательно, данный ряд расходится.

 

Замечание. При ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.

 

Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд

 

(1.7)

 

Для этого ряда

 

В этом случае предел последовательности частичных сумм не существует, и ряд расходится.

Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии (1.4):

 

Нетрудно показать, что n -я частичная сумма ряда геометрической прогрессии при задается формулой

 

.

Рассмотрим случаи:

1) Тогда и . Следовательно, ряд сходится и его сумма равна

2) .

Тогда и .

 

Следовательно, ряд расходится.

3) или Тогда исходный ряд имеет вид (1.6) или (1.7) соответственно, которые расходятся. Окончательно имеем

 

(1.8)

Пример 1.8. Найти сумму ряда

 

 

Очевидно, что данный ряд является рядом геометрической прогрессии. В нашем случае . Тогда из формулы (1.8) следует

 

.

 

Исследование на сходимость гармонического ряда (1.2) и обобщенного гармонического ряда (1.3) будет проведено в следующем разделе.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Овсеец М. И., Светлая Е. М | Основные свойства числовых рядов
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 318; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.027 сек.