Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения с разделяющимися переменными

Задача о приросте денежного вклада

Рассмотрим пример задачи, приводящей к дифференциальному уравнению, - задачи о приросте денежного вклада.

Пусть N - величина вклада (руб.), переменная величина;

t - время (в годах или частях года), переменная;

k – годовой коэффициент (процент) прироста вклада (k>0) ,

k= const;

- скорость изменения вклада .

Очевидно, что скорость прироста вклада пропорциональна величине вклада N и коэффициенту прироста k. Получается уравнение, содержащее производную, то есть дифференциальное уравнение .

Решение. Умножив почленно на , запишем . Разделив обе части равенства на N, получим . Интегрируя обе части, слева по N, справа по t, будем иметь , (где - произвольная постоянная) или , или . Решая это логарифмическое уравнение, найдем - общее решение.

Зададим начальные условия: в момент внесения вклада - размер вклада.

Подставляем начальные условия в общее решение: , откуда . Тогда частное решение будет .

Пример 9.1. 1) Пусть =1000руб., k =0,02, t =1 год; найти прирост вклада.

Решение: N =(руб.). Прирост составит 822 руб. 78 коп.

Замечание. Общее решение при можно использовать для расчета убытков или потерь в области денежных отношений. Это же дифференциальное и его решение можно использовать и для расчетов процессов: роста биомассы, убыли питательного субстрата, радиоактивного самопроизвольного распада и т.п., что свидетельствует о большой универсальности математических моделей сходных процессов.

9.3. Дифференциальные уравнения первого порядка

Следуя формулам (9.1) и (9.2) общий вид уравнения 1-го порядка.

(9.6)

(9.7)

Уравнение (9.7) задает на плоскости поле направлений, то есть угловых коэффициентов касательных в каждой точке (x,y) к искомым интегральным линиям.

Общее решение имеет вид , общий интеграл Фчастное решение - , частный интеграл Ф начальное условие , то есть точка с координатами , через которую должна проходить одна из интегральных линий.

Выше было получено общее решение уравнения Оно имеет вид и представляет собой семейство парабол (рис. 9.1). Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию (или при ) получим , откуда . Таким образом, частное решение - нижняя парабола (рис. (9.1), проходящая через точку (2;0).

Геометрически ясно, что заданием начального условия , то есть координат точки на плоскости интегральная линия полностью определяется и уравнение (9.7) имеет вполне определенное единственное решение. Более подробное исследование, выполненное в свое время Коши, показало, что для существования и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка достаточно, чтобы в точке функция была непрерывной, а ее частная производная - конечной (теорема Коши).

Существует большое разнообразие дифференциальных уравнений 1-го порядка. Так как их решение связано с интегрированием, а нам известно, что не всякую функцию можно проинтегрировать, то и не всякое дифференциальное уравнение можно решить аналитически, то есть найти его общее решение в виде некоторой элементарной функции. На случай невозможности точного решения, решения в квадратурах, как часто называют точное решение, существуют методы приближенного решения.

Рассмотрим решения в квадратурах трех видов уравнений 1-го порядка. Суть подхода к их решению одна – привести данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Уравнения этого класса очень многочисленны. К ним фактически сводятся все другие классы уравнений. Общий вид уравнения с разделяющимися переменными такой

(9.8)

Идея разделения переменных состоит в том, чтобы получить выражение, в котором бы при дифференциале стоял множитель, зависящий только от , а при дифференциале - только от . Этого можно достигнуть, разделив уравнение (9.8) почленно на произведение тех сомножителей, от которых надо избавиться при и . При мешает интегрировать сомножитель , а при - сомножитель . На их произведение и надо почленно разделить уравнение. Получим или

Разделение переменных достигнуто. Дальше полученное выражение, называемое уравнением с разделенными переменными, почленно интегрируется (если интегралы существуют).

Пример 9.2. Решить уравнение .

Решение: Разделим почленно на . Получим или , интегрируя почленно, находим , откуда - общий интеграл данного уравнения.

Их общий вид такой (9.9)

Если уравнение задано в виде (9.9) или может быть приведено к такому виду, то оно является линейным, то есть, содержащим и в первой степени. В частности, и могут быть постоянными.

Решение уравнения (9.9) будем искать в виде произведения двух функций от .

Дифференцируя по обе части этой подстановки, получим

Подставим значения и в уравнение (9.9).

(*)

Найдем функцию из условия или

Так как нам достаточно какого-нибудь одного решения для нахождения , то примем С =0 и тогда Очевидно, что Подставляя найденное значение в уравнение (*) и учитывая, что , получим или . Интегрируя, находим . Здесь вводится произвольная постоянная. Имея ,, составляем общее решение . Отсюда мы видим, что решение линейного уравнения сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными, причем в обоих случаях интегралы существуют.

Пример 9.3. Решить уравнение .

Решение: Полагаем .

Получим, или (*). Выберем функцию так, чтобы выполнялось равенство . Тогда . Разделив переменные, получим . Интегрируя обе части, находим , откуда . Подставляя найденное значение в равенство (*) получим , а после разделение переменных , откуда . Итак, функции , найдены. Составим общее решение .

Дата добавления: 2014-01-04