КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Равномощные множества. Счетные и несчетные множества
Определение. Два множества Х и Y равномощны, если существует взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. (Обозначают: Х ~ Y). Пример. Множество сторон четырехугольника и множество его углов. Понятие равномощности применимо как к конечным, так и к бесконечным множествам. Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов (равномощные конечные множества называют равночисленными). Рассмотрим примеры равномощных бесконечных множеств: N – множество натуральных чисел, А – множество четных натуральных чисел (А Ì N). Каждому натуральному числу поставим в соответствие число, которое больше его в 2 раза: 1 2 3 4 5…
2 4 6 8 10 …
Установленное соответствие взаимно однозначно, т.к. каждому натуральному числу соответствует единственное число из множества Y и наоборот: каждое число из множества Y соответствует единственному натуральному числу. Следовательно, множество натуральных чисел равномощно множеству четных натуральных чисел. Определение. Бесконечное множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется счетным. Примеры счетных множеств: целых чисел, целых неотрицательных чисел, любое подмножество каждого из этих множеств. Теорема (без доказательства). Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно. Примеры несчетных множеств: множество всех действительных чисел, множество всех точек на прямой, множество всех точек плоскости.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение декартова произведения множеств. 2. Перечислите способы задания декартова произведения множеств.
3. В каком отношении находятся множества X × Y и Y × X? 4. Что называют соответствием между множествами Х и Y? 5. Какое множество называют областью отправления, областью прибытия, областью определения и множеством значений соответствия? 6. Перечислите способы задания соответствий. 7. Какое соответствие называют отображением множества Х в множество Y; отображением множества Х на множество Y? 8. Какое соответствие называют взаимно однозначным соответствием? 9. Какие множества называют равномощными? В каком случае равномощны конечные множества? 10. Какие множества называют счетными? Приведите примеры счетных и несчетных множеств.
§ 5. Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций На рисунке дан граф соответствия между множествами А = { а; b; с } – множество тех элементов, для которых есть соответствующий элемент в множестве Y. Заметим, что каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества Y. Определение. Соответствие между множествами Х и Y, где каждому элементу множества Х соответствует не более одного элемента множества Y, называется функциональным соответствием или функцией. Функции обозначают буквами латинского алфавита f, g, h и др. и пишут: у = f (х). х – независимая переменная или аргумент, все значения, которые принимает независимая переменная – область определения функции. Пусть дана функция f с областью определения А Ì Х, где Х – множество отправления функции f. Множество прибытия обозначим Y. Элемент у Î Y, соответствующий элементу х Î А, называют значением функции f и пишут у = f (х). Определение. Множество всех у Î Y, которые являются значениями функции f, называют множеством значений функции f.
Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Пример. Пусть дана функция f (х) = . Областью определения функции f (х) является множество R \ {2}. Способы задания функций 1) Аналитическое задание функции – задание функции с помощью формулы у = f (х), где f (х) – некоторое выражение в переменной х. 2) Табличное задание функции – приводится таблица, указывающая значение функции для имеющихся в таблице значениях аргумента. Этот способ часто используется на практике, когда зависимость одной величины от другой находят опытным путем; оказывается удобным, т.к. позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений. 3) Графическое задание функции. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Свойства функций Четные и нечетные функции Определение. Функция у = f (х) называется четной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенство f (– х) = f (х). Определение. Функция у = f (х) называется нечетной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенство f (– х) = – f (х). Из определений следует, что область определения Х как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если х Î Х, то – х Î Х. График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Возрастающие и убывающие функции Определение. Функция у = f (х) называется возрастающей на промежутке Х, если " х 1, х 2 Î Х, таких, что х 1 < х 2, выполняется неравенство f (х 1) < f (х 2). Определение. Функция у = f (х) называется убывающей на промежутке Х, если " х 1, х 2 Î Х, таких, что х 1 < х 2, выполняется неравенство f (х 1) > f (х 2). Определение. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1356; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |