Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Третий фундаментальный закон механики (закон баланса энергии)





Теорема об изменении кинетической энергии.

Примеры потенциальных воздействий

Z
 
 
 
Пример 1. Однородное поле тяготения: , .

 

,

или, если записать , то

 
 
 
 
 
 
Пример 2. Энергия гравитации

Обозначим для краткости .

Действующая на первое тело со стороны второго сила

 

Мощность

Дифференцируя равенство , получим , поэтому

следовательно, .

Принимая, что при бесконечном удалении тел , получим C=0.

 
 
 
Пример 3. Потенциальная энергия пружины

А) Линейная пружина:

,

где длина недеформированной пружины

 

 

 

 

 
 
 
В) Спиральная пружина:

 

 

 

 

Скорость изменения кинетической энергии равна мощности внешних и внутренних воздействий:

. (7)

Эта теорема является следствием первого и второго фундаментальных законов механики.

Рассмотрим (для простоты) тело, состоящее из материальных точек. Дифференцируя по времени кинетическую энергию , получим с учетом первого ФЗМ для точки (второго закона Ньютона)

 

Форма записи теоремы (6.7) называется дифференциальной; проинтегрировав ее, получим интегральную форму или

(8)

Если все внутренние воздействия потенциальные, т.е. , то (7) принимает вид

, (9)

Сумма называется полной механической энергией тела.

Если потенциальны и внешние воздействия , то имеем закон сохранения энергии расширенной системы (в энергию включается потенциальная энергия воздействия на тело внешнего окружения):

(10)

Системы (тела), где все воздействия потенциальны, называются консервативными.

 

Приведенная выше модель окружающего мира, описываемая двумя фундаментальными законами механики и их следствием - теоремой об изменении кинетической энергии, явно недостаточна. Во - первых, мы мало что знаем о внутренних воздействиях, да и повседневный опыт показывает, что причинами движения тел являются не только силы и моменты, созданные окружающими телами, но и но и подвод энергии того или иного немеханического вида (тепловой, электрической и др.).

Рассмотрим простую задачу:

два диска с осевыми моментами инерции и , вращающиеся соосно с разными угловыми скоростями и , в момент приводятся в зацепление и далее вращаются вместе с неизвестной угловой скоростью .

 
 
 
A
 
 
 

Проекция второго закона на ось вращения имеет вид =0, т.е. проекция кинетического момента на ось постоянна, отсюда находим



(А)

Найдем теперь угловую скорость с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, тем более что она и выводилась из двух законов механики. Имеем

,

поскольку изначально, а равенство нулю следует из того, что скорости точек касания сцепляющихся дисков одинаковы, а силы . Таким образом, и

. (Б)

Разумеется, правильным результатом является формула (А). Найдем разность кинетических энергий после и до сцепления. Опуская несложные выкладки, получим

.

«Потерянная» энергия превратилась либо в тепловую энергию, либо стала энергией деформации дисков, причем часть ее могла быть отведена в виде, скажем, тепла. Все эти (и другие) варианты определяются свойствами тел.

В любом случае необходимо ввести в механику понятия внутренней энергии и подвода энергии в тело:

(11)

Скорость изменения полной энергии тела равна сумме мощности внешних воздействий и скорости подвода энергии в тело.

В (11) кинетическая энергия, внутренняя энергия, полная энергия, мощность внешних воздействий, скорость подвода энергии в тело. Если тело не обменивается энергией со своим окружением , оно называется замкнутым.

Понятие внутренней энергии успешно используется в механике деформируемых тел, в частности, для корректного введения векторов и тензоров деформации; в нашем же курсе внутренняя энергия встречается только как внутренняя потенциальная энергия .

Глава 6. Механика Лагранжа





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 205; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.