Третий фундаментальный закон механики (закон баланса энергии)

Теорема об изменении кинетической энергии.

Примеры потенциальных воздействий

Z

Пример 1. Однородное поле тяготения:,.

,

или, если записать, то

Пример 2. Энергия гравитации

Обозначим для краткости.

Действующая на первое тело со стороны второго сила

Мощность

Дифференцируя равенство, получим, поэтому

следовательно,.

Принимая, что при бесконечном удалении тел, получим C=0.

Пример 3. Потенциальная энергия пружины

А) Линейная пружина:

,

где длина недеформированной пружины

В) Спиральная пружина:

Скорость изменения кинетической энергии равна мощности внешних и внутренних воздействий:

. (7)

Эта теорема является следствием первого и второго фундаментальных законов механики.

Рассмотрим (для простоты) тело, состоящее из материальных точек. Дифференцируя по времени кинетическую энергию, получим с учетом первого ФЗМ для точки (второго закона Ньютона)

Форма записи теоремы (6.7) называется дифференциальной; проинтегрировав ее, получим интегральную форму или

(8)

Если все внутренние воздействия потенциальные, т.е., то (7) принимает вид

, (9)

Сумма называется полной механической энергией тела.

Если потенциальны и внешние воздействия, то имеем закон сохранения энергии расширенной системы (в энергию включается потенциальная энергия воздействия на тело внешнего окружения):

(10)

Системы (тела), где все воздействия потенциальны, называются консервативными.

Приведенная выше модель окружающего мира, описываемая двумя фундаментальными законами механики и их следствием - теоремой об изменении кинетической энергии, явно недостаточна. Во - первых, мы мало что знаем о внутренних воздействиях, да и повседневный опыт показывает, что причинами движения тел являются не только силы и моменты, созданные окружающими телами, но и но и подвод энергии того или иного немеханического вида (тепловой, электрической и др.).

Рассмотрим простую задачу:

два диска с осевыми моментами инерции и, вращающиеся соосно с разными угловыми скоростями и, в момент приводятся в зацепление и далее вращаются вместе с неизвестной угловой скоростью.

A

Проекция второго закона на ось вращения имеет вид =0, т.е. проекция кинетического момента на ось постоянна, отсюда находим

(А)

Найдем теперь угловую скорость с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, тем более что она и выводилась из двух законов механики. Имеем

,

поскольку изначально, а равенство нулю следует из того, что скорости точек касания сцепляющихся дисков одинаковы, а силы. Таким образом, и

. (Б)

Разумеется, правильным результатом является формула (А). Найдем разность кинетических энергий после и до сцепления. Опуская несложные выкладки, получим

.

«Потерянная» энергия превратилась либо в тепловую энергию, либо стала энергией деформации дисков, причем часть ее могла быть отведена в виде, скажем, тепла. Все эти (и другие) варианты определяются свойствами тел.

В любом случае необходимо ввести в механику понятия внутренней энергии и подвода энергии в тело:

(11)

Скорость изменения полной энергии тела равна сумме мощности внешних воздействий и скорости подвода энергии в тело.

В (11) кинетическая энергия, внутренняя энергия, полная энергия, мощность внешних воздействий, скорость подвода энергии в тело. Если тело не обменивается энергией со своим окружением, оно называется замкнутым.

Понятие внутренней энергии успешно используется в механике деформируемых тел, в частности, для корректного введения векторов и тензоров деформации; в нашем же курсе внутренняя энергия встречается только как внутренняя потенциальная энергия.

Глава 6. Механика Лагранжа

Дата добавления: 2014-01-04