Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Численное интегрирование

ЛЕКЦИЯ 12

Блок-схема вычисления производной.

 

       
   
 
 

 


S=.Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей.

Обозначим:

Заменим y=f(x) …… кусочно-полиномиальной функцией S(x) аппроксимирующей данную функцию. Интегрируя S(x) на отрезке [a,b], получим формулу численного интегрирования – квадратную формулу.

1)если на каждом интервале [] (i=1,2,…,n.) заменим f(x) ступенчатой функцией

f(x) S(x) =,

где - середина интервала

тогда т.к

и получаем квадратурную формулу прямоугольников:

(1)

2)Если f(x) на каждом отрезке [] заменить её на линейной интерполяции по точкам , то получим

i=1,…,n

i=1,2,…..,n

Действительно:

(т.к. ) =

Т.о. получаем квадратурную формулу трапеций:

(2)

3) Если …. S(x), определяет собой непрерывную функцию, составленную из примыкающих парабол, можно получить квадратурную формулу Симпсона, или формулу парабол.

Пусть на отрезке [] парабола проходит через точки (),(),(). Строим интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка:

(в знаменателе(первый шаг): )

i=1,2,….,n

Введем новую переменную t: t =;

Тогда ; ;

Значениям t= 0, 1/2, 1 соответствуют значения х,равные .

и т.д.

 

Выразим S(x) через новую переменную t:

 

S(x)= =

= (i=1,2,….,n)

Рассмотрим, например, 1-ый член

Т.к. , а , получаем:

=

Далее, учитывая, что , получаем:

Т.о. имеем квадратурную формулу парабол:

(3)

Погрешность каждой квадратичной формулы оценивается величиной остаточного члена R(h), зависящего от шага разбиения h (или от числа разбиений n):

Если f(x) имеет непрерывную производную второго порядка, то получаем:

Для формулы трапеций

Если f(x) имеет непрерывную производную 4-го порядка, то оценка погрешности формулы Симпсона:

 

Пример:

Найти приближенное значение интеграла с помощью квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона, если отрезок интегрирования [0,1] разбит на n =2; 4;10 равных частей. Оценить величину погрешности полученных результатов.

Решение:

Погрешность .

Находим производные f(x):

; ; ;

;

При n=4 получим:

;

 

(в 200 раз точнее)

Результаты сведены в таблицу:

формула n=2 n=4 n=10
Y (2) Y (4) Y (10)
прямоугольник 1.40977 0.1699 1.44875 0.0425 1.46039 0.0068
трапеция 1.57158 0.3398 1.49068 0.085 1.46717 0.0136
Симпсона 1.46371 0.0045 1.46272 0.0003 1.46265

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
 | Квадратурные формулы Гаусса
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 337; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.