Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой на плоскости

Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве

Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя переменными в общем виде: ах + bу + с = 0, в котором коэффициенты a и b не равны одновременно нулю, т.е. a² + b² ≠ 0.

Пусть b ≠ 0. Тогда уравнение ах + bу + с = 0 можно записать в виде
у = (-а/b)х – с/b, т.е. получено уравнение прямой с угловым коэффициентом
k = -а/b. При этом если a ≠ 0, а с = 0, то у = kx, т.е. получено уравнение прямой, проходящей через начало координат. Если a = 0, а с ≠ 0, то
у = – с/b = const, т.е. получено уравнение прямой, параллельной оси абсцисс. Если a = с = 0, то у = 0 (уравнение оси абсцисс).

Пусть b = 0. Тогда уравнение ах + bу + с = 0 примет вид х = -с/а. Если с ≠ 0, то получим уравнение прямой, параллельной оси ординат, а если с = 0, то саму ось ординат (х = 0).

Таким образом, во всех рассмотренных случаях уравнение ах + bу +
+ с = 0 есть уравнение прямой линии на плоскости. Его называют общим уравнением прямой.

Пусть прямые заданы общими уравнениями а₁х + b₁у + с₁ = 0 и
а₂х + b₂у + с₂ = 0. Тогда их угловые коэффициенты k₁ = -а₁/b₁ кг и k₂ = -а₂/b₂, а условие параллельности примет вид а₁/b₁ = а₂/b₂ Таким образом, условие параллельности прямых, заданных общими уравнениями, - пропорциональность коэффициентов при переменных.

Условие перпендикулярности для таких прямых примет вид
(-а₁/b₁)*(-а₂/b₂) = - 1; а₁а₂ + b₁b₂ = 0 (равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных).

Дата добавления: 2013-12-12