Проверка гипотезы о значимости уравнения парной регрессии. Теорема о разложении сумм квадратов

r

0 1

Проверка гипотезы значимости парного линейного уравнения регрессии сводится к проверке гипотез о значимости коэффициенn тов регрессии b и b или парного коэффициента детерминации yx.

В этом случае могут быть выдвинуты следующие основные гипоГ тезы:

0 1

1) H0/ b = 0 и H0/ b = 0 — коэффициенты регрессии явn ляются незначимыми и уравнение регрессии также является

незначимым;

2) H0/ r2yx= 0 — парный коэффициент детерминации незнаn чим и уравнение регрессии также является незначимым.

Альтернативной (или обратных к основным) выступает гипоn тезы;

0 1

3) H1/ b ¹ 0 и H1/ b ¹ 0 — коэффициенты регрессии значиn мо отличаются от нуля и построенное уравнение регрессии явn

ляется значимым;

4) H1/ r2yx ¹ 0 — парный коэффициент детерминации значиn мо отличается от нуля, следовательно, построенное уравнение

регрессии является значимым.

Для проверки гипотезы значимости уравнения регрессии в цеn лом используется Fnкритерий Фишера—Снедекора.

Гипотеза проверяется следующим образом:

1) если наблюдаемое значение Fnкритерия больше критичеn

набл крит

ского значения данного критерия, т. е. F > F, то с веn роятностью a основная гипотеза о незначимости коэффициn ентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и уравнение регрессии признается значимым;

2) если наблюдаемое значение Fnкритерия меньше критичеn

набл крит

ского значения данного критерия, т. е. F < F, то с веn роятностью (1 − a) основная гипотеза о незначимости коэфn

фициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации принимается, и построенное уравнение регресn сии признается незначимым.

r

− r

;

´

F

Критическое значение Fnкритерия находится по таблице расn пределения Фишера—Снедекора в зависимости от следующих параметров: уровня значимости a и числа степеней свободы:

k 1= h −1 и k 2= n − h, где n — это объем выборки, а h — число оцеn ниваемых по выборке параметров. В случае проверки значимости

уравнения парной регрессии критическое значение Fnстатистики вычисляется как Fкрит (a; 1; n − 2).

Формула наблюдаемого значения Fnкритерия для проверки

гипотезы о незначимости уравнения регрессии в целом имеет вид:

2 набл = yx 2

yx

n − h

h −1

в случае парной регрессии наблюдаемое значение Fnкритерия преобразуется в вид:

r

2

F

− r

.

набл = yx 2 ´ (n −2) yx

Данный критерий имеет распределение Фишера—Снедекора. Коэффициент детерминации можно определить не только как

квадрат парного линейного коэффициента корреляции или через теорему о разложении общей дисперсии результативной переn менной на составляющие, но и через теорему о разложении сумм квадратов результативной переменной.

Сумма квадратов разностей между значениями результативn ной переменной и ее средним значением по выборке может быть представлена таким образом:

å å å

((

2 2

i i i i

= = =

n (y − y)2= n y − y) + n y − y), i 1 i 1 i 1

å

(

2

i

где n y − y) —общаясуммаквадратов (Total Sum Square — i =1 TSS);

(

n yi − yi) —суммаквадратов остатков (Error Sum Square — =1 ESS);

y

r =

.

TSS

å

(

2

i

n y − y) — сумма квадратов объясненной регрессии (Ren i =1 gression Sum Square — RSS).

В векторной форме данное равенство можно записать как:

i i i i

y − y 2= y − y 2+ y − y 2.

Рассмотрим общую сумму квадратов:

() ()

((

]

T

é é

ë û ë û

(

T T

y − yi) ´ y − yi) = [ y − y + y − yi ù T ´ [ y − y ] + y − yi ù= =(y − y)´(y − y)+(y − y)´ y − yi) +

ESS

(((

T T

i

+ y − y) ´(y − y)+ y − yi) ´ y − yi) =

RSS

(

(

T

b b

=(y − y)´ y − yi)= eT x − yi)= eTx − yieT =0.

Если в уравнение регрессии не включается свободный член b, это разложение остается верным.

Парный коэффициент детерминации может быть вычислен по следующим формулам:

r x =1− ESS или

2 RSS yx TSS

ЛЕКЦИЯ № 6. Построение прогнозов

Дата добавления: 2013-12-12