Компакти в просторі . Критерій компактності множини

План

Вопросы

1. Когда совокупность множеств покрывает множество?

2. Когда множество называют компактным множеством? Привести примеры компактов.

3. Что такое замкнутый параллелепипед в пространстве? Привести примеры.

4. Какое множество называется ограниченным?

5. Критерий компактности множества.

6. Что можно сказать о наличии предельных точек у любого бесконечного ограниченного множества?

7. Определения векторной последовательности. Понятие предела векторной последовательности. Геометрический смысл предела векторной последовательности.

8. Простейшие свойства пределов векторных последовательностей.

9. Теорема о покоординатной сходимости векторной последовательности.

10. Какая векторная последовательность называется фундаментальной?

11. Критерий сходимости векторной последовательности.

12. Понятие подпоследовательности векторной последовательности. Свойства подпоследовательностей.

1. Компакти в просторі. Критерій компактності множини
2. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
3. Векторні послідовності. Поняття границі векторної послідовності
4. Найпростіші властивості границь векторних послідовностей
5. Фундаментальні послідовності. Підпослідовності

Нехай подана сукупність відкритих множин у просторі.

Визначення 1. Кажуть, що сукупність множин покриває множину, якщо.

Визначення 2. Множина називається компактною множиною, чи компактом, якщо з кожної нескінченної сукупності відкритих множин, яка покриває множину, можливо добути скінченну сукупність, яка теж покриває множину.

Приклад. Нехай. За лемою Бореля з кожної нескінченної системи інтервалів, яка покриває, можна добути скінченну підсистему, яка покриває, тому - компакт.

Визначення 3. Замкненим паралелепіпедом в просторі називається множина точок, які задовольняють умовам:

.

Зауваження. Можливо показати, що замкнений паралелепіпед є компактом.

Визначення 4. Множина називається обмеженою, якщо існує куля, яка містить цю множину.

Теорема 1. Для того, щоб множина була компактом, необхідно і достатньо, щоб вона була замкнена і обмежена.

Дата добавления: 2013-12-12