Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей

Расстояние от точки до плоскости

Пусть расстояние от точки
до плоскости равно , где (рис. 1.5). Векторы и перпендикулярны плоскости, т.е. параллельны друг другу. Следовательно, угол между ними или . Найдем скалярное произведение этих векторов:

;
.

Приравняем данные уравнения: ;
.

Точка принадлежит плоскости, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости .

Поэтому , откуда

. (1.8)

Пусть даны уравнения двух плоскостей

. (1.9)

Углом между плоскостями (1.9) называется любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями (достаточно определить один из этих углов, т.к. их сумма равна π).

Один из них равен углу между нормальными векторами к этим плоскостям и (рис. 1.6). Поэтому

. (1.10)

Условие параллельности плоскостей (1.9) совпадает с условием коллинеарности векторов и .

. (1.11)

Условие совпадения плоскостей (1.9) выражается равенствами:

. (1.12)

Условие перпендикулярности плоскостей (1.9) есть вместе с тем условие перпендикулярности нормальных векторов и :

. (1.13)

Дата добавления: 2013-12-12