Шестнадцатеричная система счисления

№3.

№2.

Арифметические операции в двоичной системе счисления.

№1.

Тема: Арифметические операции в позиционных системах счисления..

№2.

№1.

Ответы на задания.

№6.

№5.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

№4.

Существуют следующие алгоритмы перевода:

Перевод целых чисел:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Перевод дробных чисел:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.

3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Например:

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Например,

Таблицы двоичных триад и шестнадцатеричных тетрад:

Двоичная триада	Число в восьмеричной СС

Двоичная тетрада	Число в 16-й СС	Двоичная тетрада	Число в 16-й СС
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Задания для закрепления материала:

1. Заполните все ячейки таблицы:

Система счисления	Основание	Базис
шестнадцатеричная
десятичная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
		0,1,2,3,4,5,6,7

2. Заполните все ячейки таблицы:

Система счисления	Основание	Разряды (степени)
десятичная
восьмеричная
двоичная

3. Запишите в развернутом виде числа:

а) А8=143511;	г) А10=143,511;
б) А2=100111; в) А16=143511;	д) А8=0,143511; е) А16=1A3,5C1.

4. Запишите в свернутой форме следующие числа:

а) А₁₆ =А*16¹+1*16⁰+7*16^-1+5*16^-2;

б) А₁₀= 9*10¹+1*10⁰+5*10^-1+3*10^-2.

5. Запишите десятичные эквиваленты следующих чисел:

а) А2=10,1;

б) А16=2Е5А,12.

6. Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переместить на два разряда влево, т.е. с нее будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найдите исходное число.

7. Шестизначное десятичное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого места слева на последнее место справа, то значение образованного числа будет втрое больше исходного. Найдите исходное число.

8. Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:

а) А10=А,234; б) А8=-5678;

в) А16=456,46; д) А2=22,2;

9. Чему равен десятичный эквивалент чисел 10101₂, 10101₈ 10101₁₆?

10. Какое из чисел 110011₂, 111₄, 35₈ и 1В₁₆ является:

а) наибольшим;

б) наименьшим.

11. Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 12₈, 11₁₆ и 11011₂?

12. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?

13. "Несерьезные" вопросы.

Когда 2*2=100?

Когда 6*6=44?

Когда 4*4=20?

14. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

15. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

а) [1011012; 1100002]; б) [148; 208];

в) [2816; 3016].

1.

Система счисления	Основание	Базис
шестнадцатеричная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F
десятичная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
восьмеричная		0,1,2,3,4,5,6,7
двоичная		0,1

2.

Система счисления	Основание	Разряды (степени)
десятичная
восьмеричная
двоичная

3. е) А₁₆=1A3,5C1=1*16²+A*16¹+3*16⁰+5*16^-1+C*16^-2+1*16^-3.

4. а) А₁₆=А1,75.

5. а) 2,5; б) 11866,07.

6. Исходное число ab3=a*100+b*10+3, новое число 3ab=3*100+a*10+b. По условию 3*100+a*10+b=3*(a*100+b*10+3)+1, 3*100+a*10+b=3*a*100+3*b*10+10,

3*100+a*10+b=3*a*100+(3*b+1)*10+0. Учитывая, что a и b — десятичные цифры, имеем: b=0 и a=1. Т. о. Исходное число 103.

7. 142857.

8. а) нет; б) нет; в) да; г) да; д) нет.

9. 10101₂=21; 10101₈=4161; 10101₁₆=65793.

10. а) 110011₂; б) 111₄.

11. Не существует, так как 12₈+11₁₆=11011₂ (10+17= 27).

12. 111₂=7₁₀, 777₈=191₁₀, FFF₁₆=4095₁₀.

13. 2*2=100₂; 6*6=44₈; 4*4=20₈.

14. Так как в записи одного из чисел есть цифра 7, то минимально возможное основание — 8. 127₈=87, 222₈=146, 111₈=73.

15. а) 45,46,47,48; б) 12,13,14,16,16; в) 40,41,...,47,48.

Урок №5.

Тема: Системы счисления, используемые в ЭВМ.(продолжение)

Цель: Научить студентов переводить числа из одной системы счисления в другую.

Задания для выполнения:

1. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:

а)513; в)600; д)602; ж)1000;

б)2304; г)5001; е)7000; з)8192.

2. Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления (ответ записать с шестью двоичными знаками):

а)0,4622; в)0,5198; д)0,5803; ж)0,6124;

б)0,7351; г)0,7982; е)0,8544; з)0,9321.

3. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную систему счисления:

а)40,5; б)31,75; в)124,25; г)125,125.

4. Переведите целые числа из десятичной в восьмеричную систему счисления:

а) 8700; б)8888; в)8900; г)9300.

5. Переведите целые числа из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления:

а)266; б)1023; в)1280; г)2041.

6. Переведите числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:

а) 0,43; б) 37,41; в) 2936; г)481,625.

7. Переведите числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:

а) 0,17; б)43,78; в)25,25; г)18,5.

8. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основанием 2, 8, 10 и 16.

Основание 2	Основание 8	Основание 10	Основание 16
			2А

9. Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления:

а)1010001001011; в)1011001101111; д)110001000100;

б)1010,00100101; г)1110,01010001; е)1000,1111001.

10. Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:

а)1010001001011; в)1011001101111; д)110001000100;

б)1010,00100101; г)1110,01010001; е)100,1111001.

11. Переведите восьмеричные и шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления:

а)266₈; в)1270₈; д)10,23₈;

б)266₁₆; г)2а19₁₆; е)10,23₁₆.

12. Осуществите перевод чисел по схеме А₁₀»А₁₆ »А₂ » А₈:

а) 16547; б) 21589;

в) 8512; г) 7756;

д) 5043; е) 2323.

13. Перевести числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную:

а) 12754;

б) 1515;

в) 7403.

14. Перевести числа из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную:

а) 1АЕ2;

б) 1С1С;

в) 34Е.

15. Сколько разрядов будет в числе, если записать его в восьмеричной системе счисления:

а) 101110102; б) 110011110001112;

в) А18С16; г) 1375ВЕ16.

16. Сколько разрядов будет в числе, если записать его в шестнадцатеричной системе счисления:

а) 101110102; б) 110011110001112;

в) 777318; г) 1011548.

17. Сравните числа:

а) 12516 и 1111000101012; б) 7578 и 11100101012; в) А2316 и 12328;

г) 12,2516 и 111,1000101012; д) 63,57518 и 11100,101012; е) В,А16 и 11,38.

Ответы на задания:

1.

а) 1000000001; б) 100100000000;

в) 1001011000; г) 1001110001001;

д) 1001011010; е) 110110101100;

ж) 1111101000; з) 10000000000000.

2.

а) 0,011101; б) 0,101111;

в) 0,100001; г) 0,110011;

д) 0,100101; е) 0,110110;

ж) 0,100111; з) 0,111011.

3.

а) 101000,1;

б) 11111,11;

в) 1111100,01;

г) 1111101,001.

4.

а) 20774;

б) 21270;

в) 21340;

г) 22124.

5.

а) 10А;

б) 3FF;

в) 500;

г) 7F9.

6.

а) 0,3341...;

б) 45,32;

в) 5570;

г) 741,5.

7.

а) 0,2В8...;

б) 2В,С7;

в) 19,4;

г) 12,8.

8.

Основание 2	Основание 8	Основание 10	Основание 16
			2А
			3А

9.

а) 12113; б) 12,112;

в) 13157; г) 16,242;

д) 6104; е) 10,744.

10.

а) 144В; б) А,25;

в) 166F; г) E,51;

д) C44; е) 4,F2.

11.

а) 10110110; б) 1001100110;

в) 1010111000; г) 10101000011001;

д) 1000.010011; е) 0000,00100011.

12.

а)40А3» 100000010100011» 40276; б)5455» 101010001010101» 52125; в)2140» 10000101000000» 20500;

г)1Е4С» 1111001001100» 17114; д)13В3» 1001110110011» 11663; е)913» 100100010011» 4423.

13.

а) 15ЕС;

б) 34D;

в) F03.

14.

а) 15342;

б) 16014;

в) 1516.

15.

а) 3;

б) 5;

в) 6;

г) 7.

16.

а) 2;

б) 4;

в) 4;

г) 4.

17.

а) <;

б) >;

в) >;

г) >;

д)>;

е)>.

Урок №6.

Цель: Научить студентов выполнять арифметические операции в позиционных системах счисления.

Рассматриваемые вопросы:

1. Арифметические операции в двоичной системе счисления.
2. Арифметические операции в восьмеричной системе счисления.
3. Арифметические операции в шестнадцатеричной системе счисления.
4. Двоично-десятичный код.

Рассмотрим более подробно арифметические операции в двоичной системе счисления. Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании таблиц сложения, вычитания и умножения цифр. Арифметические операнды располагаются в верхней строке и в первом столбце таблиц, а результаты на пересечении столбцов и строк

+	0 1		-	0 1		*	0 1
0	0 1 1 10			0 11 1 0			0 0 0 1

Рассмотрим подробно каждую операцию.

Сложение. Таблица двоичного сложения предельно проста. Только в одном случае, когда производится сложение 1+1, происходит перенос в старший разряд.

Рассмотрим несколько примеров сложения двоичных чисел:

1001 1010011,111

+ +

1010 11001,110

------ --------------

10011 1101101,101

Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания 1 с чертой означает заем в старшем разряде.

Рассмотрим несколько примеров вычитания двоичных чисел:

10111001,1-10001101,1=101100,0

101011111-110101101= -1001110

10111001,1 110110101

- -

10001101,1 101011111

--------------- --------------

00101100,0 001010110

Умножение. Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Рассмотрим несколько примеров умножения двоичных чисел:

11001*1101=101000101

11001,01*11,01=1010010,0001

11001 11001,01

* 1101 * 11,01

--------- -----------

11001 1100101

11001 1100101

11001 1100101

------------- -----------------

101000101 1010010,0001

Вы видите, что умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Рассмотрим пример деления двоичных чисел:

101000101:1101=11001

101000101 1101

- 1101 11001

-1101

1101

-1101

Восьмеричная система счисления.

Как и во всех других системах, в восьмеричной системе тоже можно проводить арифметические действия.

Ниже приведена таблица сложения в восьмеричной системе счисления:

+

И таблица умножения в восьмеричной системе:

*

Выполним сложение в восьмеричной системе. Сложим 65104₈ и 130₈:

65104₈

+ 130₈

______

65234₈

Ответ: 65104₈ + 130₈ = 65234₈

А теперь давайте умножим 767₈ * 34₈:

767₈

* 34₈

_____

+2745

________

33404₈

Ответ: 767₈ * 34₈ = 33404₈

В шестнадцатеричной системе также можно выполнять различные действия: сложение, умножение, деление, вычитание и т. д. Вот пример на сложение:

43DA5

⁺ 3B6

4415B

Ответ: 43DA5 + 3B6=4415B

А теперь умножим 32В на 13F:

32В

*

ПРИМЕР: перевести число, представленное в двоично-десятичном коде 1001101110111, в десятичную систему счисления.

1 0011 0111 0111 = 1377

ПРИМЕР: преобразовать число 825₁₀ в двоично-десятичный код.

8 2 5

1000 0010 0101

825₁₀=100000100101

Десятичные цифры	Шестнад-цатиричная	8-4-2-1	Десятичные цифры	Шестнад-цатиричная	8-4-2-1
				A
				B
				C
				D
				E
				F

Дата добавления: 2013-12-12