Проекции дипольного момента и напряженности поля волны на ось x

Уравнение движения электрона и его решение

Уравнение движения, описывающее вынужденные колебания маятника с затуханием было получено нами из второго закона Ньютона в разделе 14.5.5.:

.

Здесь у нас x - координата электрона, ω₀ - собственная частота незатухающих колебаний электрона, β - коэффициент затухания, а

.

E_m - амплитуда световой волны;

ω - циклическая частота световой волны;
m_e - масса электрона,
e - элементарный заряд (e = 1,6 10-19 Кл).

Стационарное решение этого уравнения движения (14.5.6.1):

,

где

На следующем рисунке изображен диполь, силы действующие на его полюсы, ось x и вектор электрического поля волны в момент времени t = 0:

Как видно из рисунка, проекция дипольного момента (21.1.1.2.1) на ось x:

.

Проекция напряженности электрического поля световой волны на ось x:

,

знак минус означает, что в начальный момент времени вектор направлен против оси x. Напомним, что в нашем уравнении движения (21.1.1.2.2) сила, действующая на электрон, при t = 0 имеет положительный знак.

21.1.1.3. Выражение для n²

Подставим в формулу, полученную в (21.1.1.2) для n², выражения p_x(t), N_x(t) с использованием для x(t) решения уравнения движения, записанное в (21.1.1.2.2):

При усреднении по времени дает . Подставляя выражение для амплитуды A -колебаний электрона (из 21.1.1.2.1) получим:

;
.

21.1.1.4. Анализ зависимости n(ω)

Как показывает опыт затухание оказывает незначительное влияние на движение оптического электрона, если частота световой волны не равна ω₀ - собственной частоте колебаний электрона. Точнее, затуханием можно пренебречь, если

.

При выполнении этого условия

.

В первом случае (если ω < ω₀) колебания электрона происходят в фазе с вынуждающей силой, Cosφ = 1. Во втором (ω > ω₀) - в противофазе, Cosφ = -1.

Учитывая это можно записать упрощенное выражение для n², применимое для частот далеких от ω₀:

.

Здесь знак второго слагаемого при ω < ω₀ положителен, при ω > ω₀ второе слагаемое отрицательное.

Для ω = ω₀ φ = π/2, а Cosφ = 0, тогда, возвращаясь к исходному выражению для n² (20.1.1.3), получим:

n = 1.

21.1.1.5. График зависимости n(ω)

Проведенный анализ позволяет изобразить примерный вид графика зависимости показателя преломления от циклической частоты:

На участках AB и DE n растет с ростом ω - дисперсия нормальная. На участке BCD дисперсия аномальная - с ростом показатель преломления падает.

21.1.1.2.6. График зависимости n(λ)

Так как длина волны λ и циклическая частота величины, связанные обратно пропорциональной зависимостью (15.1.8), то график n(λ), соответствующий приведенному выше графику, будет иметь примерно следующий вид:

.

Дата добавления: 2013-12-12