Метод Эйлера с последующей итерационной обработкой

Метод Эйлера с пересчетом

При данном подходе рекуррентное соотношение (14) видоизменяется, а именно, вместо f (x_i, y_i) берут среднее арифметическое между f (x_i, y_i) и f (x_{i +1}, y_{i +1}).

Тогда

(15)

Это неявная схема. Она реализуется в две итерации: сначала находится первое приближение по (14), считая y_i начальной

, (16)

затем (16) подставляется в правую часть (15) вместо y_{i +1}

(17)

Геометрическая интерпретация метода:

С помощью метода Эйлера с пересчетом можно производить контроль точности, сравнивая y_{i +1} и ỹ_{i +1}.

На основании этого можно выбирать шаг. Если величина | ỹ_{i +1} – y_{i +1}| сравнима с заданной точностью e, то шаг можно увеличивать, если больше, то уменьшать, т.е. имеет место схема двойного просчета с оценкой погрешности по величине

» ,

где y (x_i) – точное решение в точке х = x_i, а y_i и y^*_i приближенные значения, полученные с шагом h и h /2 соответственно

Метод Эйлера можно еще более уточнить, применяя итерационную обработку каждого полученного значения y_i. А именно, сначала исходя из первого грубого приближения по (16)

,

строят итерационный процесс согласно (15) по следующей схеме

. (18)

Итерации продолжают до тех пор, пока в двух последовательных приближениях , не совпадут соответствующие десятичные знаки и полагают y_{i +1}» . Как правило, при достаточно малом шаге h, итерации сходятся быстро. Если после трех-четырех итераций не произошло совпадение нужного числа десятичных знаков, то шаг расчетов h уменьшается. После такой обработки значения y_i переходят к следующему узлу x_{i +1}.

Пример. По методу Эйлера составить таблицу решения на отрезке [0;1] для уравнения с начальным условием y (0) = 1, выбрав шаг h = 0,2.

Результаты вычислений поместим в таблицу, которая заполняется следующим образом:

i	xi	yi	D yi	Точное у =
		1,0000	0,2000	1,0000
	0,2	1,2000	0,1733	1,1832
	0,4	1,3733	0,1561	1,3416
	0,6	1,5294	0,1492	1,4832
	0,8	1,6786	0,1451	1,6124
	1,0	1,8237		1,7320

В первой строке при i = 0 записывается x ₀ = 0, y ₀ = 1,000 и по ним вычисляется f (x ₀, y ₀) = 1, а затем D y ₀ = hf (x ₀, y ₀) = 0,2. Тогда по формуле (14) получаем y ₁ = 1 + 0,2 = 1,2.

Значения x ₁ = 0,2 и y₁ = 1,2000 записываются во второй строке при i = 1. Используя их можно вычислить

f (x ₁, y ₁) = 0,8667; D y ₁ = hf (x ₁, y ₁) = 0,2×0,8667 = 0,1733.

Тогда y ₂ = y ₁ + D y ₁ = 1,2 + 0,1733 = 1,3733.

При i = 2,3,4,5 вычисления ведутся аналогично. В последнем столбце таблицы для сравнения помещены значения точного решения.

Из таблицы видно, что абсолютная погрешность для y ₅ составляет , что составляет 5%.

Замечание. Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на ДУ высших порядков при их предварительном приведении к системам ДУ первого порядка.

Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка

(19)

с начальными условиями y (x ₀) = y ₀ и z (x ₀) = z ₀.

Тогда приближенные значения y (x_i)» y_i и z (x_i)» z_i вычисляются по формулам

(20)

Пример. Применяя метод Эйлера, составить на отрезке [1;1,5] таблицу значений решения уравнения

(21)

с начальными условиями y (1) = 0,77 и y' (1) = –0,44, выбрав шаг h = 0,1.

Решение. Заменим уравнение (21) посредством подстановки y' = z, y" = z' системой уравнений первого порядка

с начальными условиями y (1) = 0,77 и z (1) = –0,44. Таким образом, имеем

Результаты вычисления по формулам (20) записаны в таблице

i	xi	yi	D Yi	f 1 i = zi	D zi
	1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5	0,77 0,726 0,679 0,629 0,576 0,521	–0,044 –0,047 –0,050 –0,053 –0,055	–0,44 –0,473 –0,503 –0,529 –0,551	–0,033 –0,030 –0,026 –0,022	–0,33 –0,296 –0,260 –0,222

Таблица заполняется следующим образом. Записываем в первой строке i = 0, x ₀=1,0; y ₀ = 0,77; z ₀ = –0,44.

Далее находим

Используя формулы (20) получаем

Таким образом, во второй строке таблицы мы можем записать i = 1; x ₁ = 1,1; y ₁ = 0,726; z ₁ = –0,473. По этим значениям находим

И, следовательно,

Заполнение таблицы при i =2, 3, 4, 5 производятся аналогично.

Дата добавления: 2013-12-11