КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Сопоставление этого выражения с (1.25) дает, чтоУСКОРЕНИЕ Чтобы охарактеризовать изменение скорости частицы со временем, используется величина а =limDt®0, (1.23) называемая ускорением частицы. Приняв во внимание соотношение (1.5), можно написать, что а =. (1.24) Следовательно, ускорение можно определить как первую производную скорости по времени либо как вторую производную радиус-вектора по времени. Продифференцировав по времени соотношение (1.9), получим для ускорения выражение а = е х+ е у+ е z (1.25) Вместе с тем ускорение, как и любой другой вектор, можно выразить через его компоненты по координатным осям: а =ах ех +ау е у+аz е z , , . (1.26) Таким образом, компоненты ускорения равны вторым производным соответствующих координат по времени. При движении в одну и туже сторону по прямолинейной траектории скорость изменяется только по модулю. Следовательно, ускорение должно определяться значением -производной модуля скорости по времени.
ЛЕКЦИЯ 2КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯПри вращении твердого тела все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных к этой оси. Быстроту вращения естественно характеризовать углом, на который поворачивается тело в единицу времени. Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени Dt тело поворачивается на одинаковые углы Dj, вращение называется равномерным. Пусть равномерно вращающееся тело поворачивается за время t на угол j. Тогда величина (2.1) определит угол поворота в единицу времени. Эту величину называют угловой скоростью тела (точнее, эта величина есть модуль угловой скорости, сама угловая скорость – вектор). При неравномерном вращении выражение (1.1) дает среднее значение угловой скорости за промежуток времени t. Мгновенное значение угловой скорости определяется выражением (2.2) где Dj - угол, на который поворачивается тело за время Dt. Чтобы охарактеризовать не только быстроту вращения, но также и ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения, вводят векторную величину w, модуль которой определяется формулой (2.2). Направлен вектор w вдоль оси вращения, причем так, что направление вращения и направление w образуют правовинтовую систему: если смотреть вслед вектору w, вращение представляется происходящим по часовой стрелке (рис.2.1). Определенная таким образом векторная величина w называется угловой скоростью тела. Поскольку направление угловой скорости определяется условно, w является псевдовектором. Единицей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с). Изменение угловой скорости со временем характеризуется векторной величиной e===, (2.3) которая называется угловым ускорением. Как и угловая скорость, угловое ускорение является псевдовектором. Если направление оси вращения в пространстве не изменяется, вектор w может изменяться только по модулю. В этом случае векторы w и e коллинеарны, причем направлены в одну и ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение замедленное. При неизменном направлении оси вращения модуль углового ускорения определяется формулой e= (2.4) (модуль вектора всегда положителен, производная же dw/dt может быть как положительной, так и отрицательной). Нетрудно сообразить, что сама производная dw/dt представляет собой проекцию углового ускорения на направление угловой скорости: (2.5) Отметим, что при поворотах оси вращения угловое ускорение e отлично от нуля даже в том случае, когда dw/dt=0. Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду за секунду (рад/с2). Найдем связь векторов w и e с величинами v и а, которые, чтобы отличить от угловых называют линейными скоростью и ускорением. Из рис. 2.1 следует, что точка тела, отстоящая от оси вращения на расстоянии R, при повороте тела на угол Dj проходит путь Ds=RDj. Разделив Ds на время Dt, за которое произошел поворот тела на угол Dj, и осуществив предельный переход, получим модуль линейной скорости точки: . Таким образом, мы нашли связь между модулями линейной и угловой скоростей: v=wR (2.6) Будем определять положение точек тела с помощью радиус-вектора r, проведенного из точки О, лежащей на оси вращения. На рис. 2.2 видно, что R=r sinb. Подстановка этого значения в (2.6) дает v=wrsinb Это равенство и показанные на рис. 2.2 взаимные направления векторов w, r, и v дают основание представить v в виде векторного произведения w на r: v = (2.7) Движение по криволинейной траекторииПри равномерном движении по криволинейной траектории =0, так что скорость изменяется только по направлению. Легко сообразить, что направление скорости будет изменяться тем быстрее, чем больше кривизна траектории и чем быстрее движется частица. Представив скорость в виде v =v e v (2.8) (e v-орт скорости v), рассмотрим два частных случая; 1) движение по прямолинейной траектории и 2) равномерное движение по окружности. 1. При прямолинейном движении e v=const, изменяется только v, поэтому а = е v (2.9) Из этого выражения следует, что в случае, когда скорость со временем увеличивается (т.е. ), ускорение направлено так же, как скорость, а модуль ускорения равен . Если же скорость со временем уменьшается (т.е. <0), направление ускорения противоположно направлению скорости, а модуль ускорения равен (напомним, что модуль вектора должен быть положительным). 2. При равномерном движении по окружности v=const, изменяется только е v, поэтому а =v . (2.10) Из рис.2.3 следует, что за время Dt орт скорости поворачивается на угол Dj=vDt/R и получает приращение Dеv. По определению производной . (2.11) При Dt®0 будет стремиться к нулю и угол Dj. Поэтому, заменив хорду АВ на рис.2.3 б соответствующей дугой, можно положить |Dеv| приближенно равным Dj (напомним, что стороны треугольника ОА и ОВ равны единице). При Dt®0 отношение хорды к дуге будет стремиться к единице. Приняв |Dеv|»Dj, можно написать, что D е v»Dj× nI, где nI -единичный вектор, имеющий такое же направление, как и D е v. При предельном переходе этот единичный вектор превращается в n – орт нормали к траектории в той точке, в которой была частица в момент t. Подставив полученное значение D е v в формулу (2.11) и приняв во внимание, что Dj=vDt/R, получим . Как мы и предполагали, быстрота поворота вектора скорости (т.е. поворота е v) оказалась пропорциональной модулю скорости и кривизне траектории. (В случае окружности кривизна траектории характеризуется величиной, обратной радиусу.) Подставив найденное значение в формулу (2.9), получим, что а n= (2.12) Таким образом, при равномерном движении по окружности ускорение определяется выражением (2.12). Направлено ускорение по нормали к скорости. Поэтому его называют нормальным ускорением и в обозначении его ставят индекс n. Каждой точке произвольной искривленной линии можно сопоставить окружность, которая сливается с линией на бесконечно малом участке (рис.2.4). Радиус этой окружности характеризует кривизну линии в данной точке и называется радиусом кривизны. Если частица движется равномерно по произвольной криволинейной траектории, ускорение также определяется формулой (2.12), причем под r подразумевается радиус кривизны траектории в той точке, где находится в данный момент частица. При неравномерном движении частицы по криволинейной траектории оба множителя в формуле (2.8) изменяются со временем. Применив правило дифференцирования произведения двух функций, получим выражение а =, из которого следует, что в общем случае ускорение распадается на два слагаемых. Одно из них, как мы выяснили ранее, коллинеарно скорости и, следовательно направлено по касательной к траектории. Поэтому его называют тангенцальным (т.е. касательным) ускорением и обозначают аi. Второе является нормальным ускорением. Итак, а = аi + аn= (2.13) (обычно вместо е v пишут i - орт касательной, однако мы предпочитаем писать е v, чтобы подчеркнуть, что это орт скорости). Первое слагаемое характеризует быстроту изменения модуля скорости. Второе слагаемое – быстроту изменения направления скорости. Составляющие а i и а n перпендикулярны друг к другу. Поэтому квадрат модуля ускорения равен сумме квадратов модулей составляющих а=. (2.14)
Дата добавления: 2013-12-11; Просмотров: 299; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |