Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция 58. Непрерывные случайные величины Закон распределения и числовые характеристики непрерывных случайных величин




 

Напомним определение непрерывной случайной величины.

Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если она может принять любое значение х из некоторого числового промежутка [a; b] или интервала (a; b) числовой оси (конечного или бесконечного).

Таким образом, возможные значения непрерывной случайной величины Х заполняют сплошь (непрерывно) некоторый промежуток или интервал числовой оси (рисунок 1). При этом предполагается, что вероятность принятия величиной Х своего значения на любом бесконечно малом участке этого промежутка или интервала бесконечно мала.

Пусть – непрерывная случайная величина, возможные значения которой заполняют сплошь (непрерывно) некоторый промежуток числовой оси (рис. 1). Для полной характеристики этой величины недостаточно, очевидно, задать только этот промежуток ее возможных значений. Нужно еще как-то указать, насколько возможно (вероятно) каждое из этих значений. Сделать это так, как это делалось для дискретных случайных величин, то есть с помощью закона распределения (таблицы), в которой одно за другим перечислены все возможные значения случайной величины и указаны их вероятности, очевидно, невозможно. Для непрерывной случайной величины это делается иначе – с помощью так называемой плотности вероятности.

Введем это важное понятие. Пусть х – одно из возможных значений непрерывной случайной величины . Окружим это значение некоторым малым промежутком длиной (окрестностью точки х). И пусть – вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, принадлежащее этой окрестности (попадет в эту окрестность) – рис. 2. Если мы теперь найдем отношение то получим вероятность, приходящуюся в среднем на единицу длины участка . То есть получим среднюю линейную плотность вероятности непрерывной случайной величины на участке . А теперь в отношении перейдем к пределу при (при этом и ). При таком предельном переходе отрезок будет стягиваться в точку х, и в пределе получим истинную линейную плотность вероятности величины Х в самой точке . Ее обозначим символом

или (1)

и будем называть плотностью вероятности непрерывной случайной величины в точке х. В последнем равенстве (1) – это длина бесконечно малого промежутка, окружающего точку , а – это бесконечно малая вероятность попадания значения величины на этот бесконечно малый промежуток.

Ясно, что плотность вероятности неотрицательна для любого , ибо сама вероятность по природе своей неотрицательна:

(2)

Если у непрерывной случайной величины задан промежуток (или интервал ) ее возможных значений, а также задана ее плотность вероятности для всех , принадлежащих этому промежутку или интервалу, то непрерывная случайная величина считается заданной.

Отметим, что если мы построим график плотности вероятности y=f(x), то получим возможность наглядно сравнивать вероятности различных возможных значений х случайной величины(рис. 3).

Действительно, согласно своего определения (1), плотность вероятности f(x), вычисленная в точке х, показывает, какой была бы вероятность попадания значения случайной величины Х на единицу длины отрезка , если бы все значения этой величины были столь же вероятны, что и данное значение х. В этом смысле плотность вероятности совершенно аналогична, например, линейной плотности вещества материального отрезка (материальной нити), если вещество распределено вдоль этого отрезка. Указанную линейную плотность вещества для различных значений мы опять вычисляли бы по формуле (1), только была бы не вероятность, а масса отрезка . И ее числовое значение в выбранной точке х (например, ) означало бы, что если бы вещество было распределено вдоль отрезка равномерно и столь же плотно, что и в точке х (нить на всем своем протяжении имела бы ту же толщину, что и в точке х), то масса каждой единицы длины (каждого сантиметра) отрезка составляла бы f(x) единиц массы ().

Итак, смысл плотности вероятности выяснен. Если при изменении х меняется и величина f(x) (как на рис. 3), то более вероятны те значения х, для которых f(x) больше. И во столько раз более вероятны, во сколько раз больше их плотность вероятности f(x). В частности, на рис. 3 наиболее вероятным значением величины на отрезке является значение , а наименее вероятным – значение b. Можно даже зрительно и оценить, во сколько раз значение вероятнее значения b (раза в три).

Наиболее вероятное значение случайной величины (как непрерывной, так и дискретной) называется модой Х (обозначается ). Для непрерывной случайной величины Х, представленной на рис.3,

Мода величины Х, как наиболее вероятное ее значение, при повторных испытаниях встречается чаще других ее значений. Отсюда и название: мода.

А теперь получим в некотором смысле парадоксальный вывод: у непрерывной случайной величины Х все ее возможные значения имеют нулевую вероятность!

Действительно, из (1) следует:

(3)

Здесь – это бесконечно малая вероятность того, что случайная величина Х попадет в бесконечно малую окрестность точки х. В этой окрестности, несмотря на ее бесконечную малость, кроме точки х содержится еще бесконечно много других точек. Если сузить указанную окрестность до одной точки х, то в этом случае , а значит, и . И эта – вероятность того, что . То есть, действительно

(4)

То, что все возможные значения х непрерывной случайной величины Х имеют нулевую вероятность – еще не значит, что эта величина Х не может принять то или иное свое значение. Ведь в каждом испытании случайная величина какое-то значение примет. Значит, в принципе она может принять любое из своих возможных значений. Просто этих возможных значений у нее бесконечно много, поэтому для каждого возможного значения х имеется лишь один шанс быть принятым против бесконечного числа шансов быть не принятым. Отсюда и следует нулевая вероятность для каждого возможного значения х непрерывной случайной величины Х. Но шанс этот все-таки есть!

Далее: нулевые вероятности различных значений х непрерывной случайной величины Х в сумме должны давать единицу! Действительно, указанная сумма вероятностей всех возможных значений х величины Х – это вероятность того, что величина примет одно из этих своих значений. А это – достоверное событие, вероятность которого, как известно, равна единице. Ну, а то, что из бесконечного числа нулей в сумме получается единица – так точно так же из бесконечного числа точек, не имеющих размера (имеющих нулевой размер) складываются реальные отрезки, материальные тела и т.д.

Несмотря на нулевые вероятности возможных значений х непрерывной случайной величины Х, эти нулевые вероятности, как указывалось выше, можно сравнивать (с помощью плотности вероятности ). Те значения х, для которых больше, и вероятность имеют большую (одна нулевая вероятность больше другой!). То есть с помощью плотности вероятности сравниваются весомости тех единственных шансов быть принятыми, которые есть у каждого возможного значения х величины Х. В частности, на рис. 3 самым весомым этот шанс является у значения – моды величины Х. Указанное сравнение нулевых вероятностей совершенно аналогично сравнению нулевых масс отдельных точек разных веществ. Например, совершенно естественно считать, что отдельно взятая точка свинца имеет нулевую массу, но большую, чем нулевая масса отдельно взятой точки алюминия, ибо при одном и том же количестве точек (при одном и том же объеме) масса свинца больше массы алюминия. И сравнивать количественно нулевые массы отдельных точек разных веществ можно по плотности этих веществ: во сколько раз плотность свинца больше плотности алюминия, во столько же раз точка свинца массивнее точки алюминия.

При исследовании непрерывных случайных величин одной из основных задач является задача нахождения вероятности того, что в результате испытания заданная непрерывная случайная величина Х примет значение, содержащееся в некоторой заданной части промежутка . Эта вероятность находится по формуле:

(5)

Иначе говоря,

, (6)

где – площадь вертикальной полосы, изображенной на рис. 4:

Докажем формулу (5). Для этого мысленно разобьем отрезок на бесконечно малые участки с длинами и выберем внутри каждого такого участка некоторую точку х. Тогда вероятность попадания значения Х на каждый из таких участков найдется по формуле (3). Попадание же значения Х на отрезок равносильно попаданию этого значения хотя бы на один из указанных участков . Попадание значения величины Х на различные участки – это попарно несовместные случайные события. Поэтому по формуле сложения вероятностей попарно несовместных событий получаем:

.

Формула (5) доказана. А вспоминая геометрический смысл определенного интеграла, приходим и к формуле (6).

Так как как вероятность достоверного события, то из формул (5) и (6) как частный случай следует:

(7)

Здесь площадь – площадь всей криволинейной трапеции, расположенной между осью и графиком плотности вероятности для .

Из равенства (7) следует, что плотность вероятности любой непрерывной случайной величины нельзя задавать произвольно. При ее задании обязательно должны быть выполнены два вытекающих из ее смысла условия: (2) и (7). В остальном она может быть какой угодно.

Описание непрерывной случайной величины с помощью плотности вероятности не является единственным способом её задания. То же самое можно сделать с помощью функции распределения.

Определение. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е. F(x)=P(Х<x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Введение функции распределение также позволяет дать другое определение непрерывной случайной величины.

Определение. Случайную величину называют непрерывной, если её функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : .

Свойство 2. F(x) – неубывающая функция, т.е. , если .

Следствие 1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то: 1) F(x)=0 при ; 2) F(x)=1 при .

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения: .

Приведенные свойства функции распределения, позволяют представить как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины. Таким образом,

1) График расположен в полосе, ограниченной прямыми y=0, y=1.

2) При возрастании х в интервале (a,b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «поднимается вверх».

3) При ординаты графика равны нулю; при ординаты графика равны единице.

 

 

Связь между функцией распределения и плотностью распределения очевидна из их определения: . Исходя из этого, можно получить плотность распределения из функции распределения дифференцированием: и функцию распределения из плотности распределения интегрированием: .

Пример 1. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Построить график найденной функции.

Решение. Воспользуемся формулой . Если , то f(x)=0, следовательно, F(x)=0. Если , то , тогда

.

Если x>b, то .

Итак, искомая функция распределения

График этой функции распределения см. рис.5.

 

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Рассмотрим теперь вопрос об основных числовых характеристиках (; ; ; ) непрерывной случайной величины . Этим числовым характеристикам придадим тот же смысл, какой они имели в для дискретных случайных величин:

; ;

; (8)

Начнем с – с математического ожидания величины . Найти – это значит найти среднее значение величины . Для его нахождения разобьем мысленно отрезок всех возможных значений непрерывной случайной величины на бесконечно большое число бесконечно малых участков с длинами , и на каждом из них выберем некоторую произвольную точку . Попадание значения на каждый из этих участков – это фактически, в силу их бесконечной малости, попадание в соответствующую точку , осуществляемое с вероятностью . Поэтому, в соответствии с формулой математического ожидания для ДСВ, получаем:

(9)

То есть, получаем окончательно:

(10)

Опираясь на полученную формулу для математического ожидания непрерывной случайной величины и используя определение (8) дисперсии величины , получим формулу для вычисления :

(11)

После раскрытия квадрата разности, разбиения интеграла (11) на три интеграла получим так называемую упрощенную формулу для дисперсии :

(12)

Здесь

; (13)

– математические ожидания величин и соответственно. Кстати, упрощенная формула (12) для дисперсии непрерывной случайной величины полностью совпадает с аналогичной формулой для дисперсии дискретной случайной величины. Формулы (8) для среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации непрерывной случайной величины тоже полностью совпадают с аналогичными формулами для дискретной случайной величины. И смысл всех этих числовых характеристик для обеих случайных величин полностью совпадает.

Примечание. Если интервал возможных значений непрерывной случайной величины Х бесконечен (в одну или в обе стороны), то интегралы (11) и (13) будут несобственными и могут оказаться расходящимися – то есть не дадут конечных значений (дадут или ). Тогда , , а вместе с ними , могут не иметь конечных значений.

Пример 1. Непрерывная случайная величина имеет возможные значения, заполняющие отрезок оси , а ее плотность вероятности – это линейная функция вида

(14)

а) Найти ; б) Построить график функции ; в) Найти и ; г) Найти , , , .

Решение. а) Неизвестную константу найдем из условия (3.8):

Таким образом, плотность вероятности

(15)

б) Построим график функции – график плотности вероятности рассматриваемой непрерывной случайной величины (рис. 6). Судя по этому графику, наиболее вероятным значением величины (модой ) является значение .

в) Найдем вероятность , то есть вероятность попадания значения в левую половину отрезка . Для этого используем формулу (5):

.

Аналогично найдем вероятность того, что попадет в правую половину отрезка :

Таким образом, вероятность попадания значения случайной величины Х в правую половину отрезка втрое больше, чем вероятность ее попадания в левую половину этого же отрезка. Это произошло потому, что возможные значения х величины Х правой половины отрезка вероятнее значений левой половины (см. рис. 6). Отметим, что найденные вероятности и в сумме, как и положено, дают единицу.

г) Найдем числовые характеристики (; ; ; ) величины :

.

Таким образом, – среднее значение величины Х. Оно находится не в середине отрезка , а правее, что совершенно естественно, ибо в правой половине отрезка содержатся более вероятные значения Х, чем в его левой половине.

Теперь найдем дисперсию . Предварительно найдем :

.

Значит, согласно (12)

.

А теперь найдем оставшиеся две числовые характеристики величины X:

==

Среднее квадратическое отклонение показывает, что среднее отклонение величины Х от ее среднего значения составляет (без учета знака отклонения) приблизительно 0,47. А коэффициент вариации показывает, что по отношению к среднему значению это отклонение составляет приблизительно 35%.

Для непрерывных случайных величин, как и для дискретных, можно ввести понятия суммы и произведения.

Пусть X и Y – некоторые две непрерывные случайные величины, причем [ a; b ] и - промежуток возможных значений и плотность вероятности величины Х, а [ c; d ] и - соответствующие характеристики величины Y. Тогда сумма – непрерывная случайная величина, которая в качестве своих возможных значений принимает всевозможные суммы значений величин X и Y. А произведение - непрерывная случайная величина, которая в качестве своих возможных значений принимает всевозможные произведения значений X и Y (рис. 7). Таким образом, возможные значения и величин и комбинируются из координат (x; y) точек заштрихованного на рис.7 прямоугольника. А, следовательно, и плотности вероятности обеих этих величин комбинируются из плотностей вероятностей и величин X и Y. Комбинации эти выглядят сложно, особенно если случайные величины X и Y являются зависимыми друг от друга, поэтому приводить их не будем. Тем более, что для нахождения числовых характеристик случайных величин и без них зачастую можно и обойтись (это следует из приводимых ниже свойств сумм и произведений случайных величин).

Если случайные величины X и Y независимы, то каждая из них принимает свои возможные значения вне всякой связи с возможными значениями другой величины. Если же это не так, то случайные величины X и Y являются зависимыми. Кстати, смысл зависимости – независимости случайных величин полностью аналогичен смыслу зависимости – независимости случайных событий.

Для непрерывных случайных величин имеют место те же свойства, что и для дискретных случайных величин. А именно:

1. Для любых непрерывных случайных величин X и Y

(16)

2. Для любых непрерывных случайных величин X и Y

(17)

В частности, так как для любой константы С, то

(18)

3. Если непрерывные случайные величины X и Y независимы, то

(19)

4. Для любой непрерывной случайной величины Х и любой константы С

(20)

5. Если непрерывные случайные величины X и Y независимы, то

; (21)

В частности, так как и так как любая непрерывная случайная величина и любая константа независимы, то

(22)

Приведенные выше свойства для двух случайных величин переносятся и на несколько случайных величин:

1. Для любых непрерывных случайных величин (Х1; Х2; … Хр)

(23)

2. Если непрерывные случайные величины (Х1; Х2; … Хр) взаимно независимы, то

(24)

3. Если непрерывные случайные величины (Х1; Х2; … Х р) взаимно независимы, то

(25)




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 675; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.097 сек.