Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами параллельными координатным осям. Пусть уравнения сторон таковы: X=x₁,X=x₂,Y=y₁ и Y=y₂. (рис.1в) Найдем вероятность попадания случайной точки (X,Y) в этот прямоугольник, используя предыдущий раздел:

(1)

Пример 2. Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми , если известна функция распределения системы. .

Решение. Положив в формуле (1), получим

Рассмотрим теперь непрерывные двумерные случайные величины. Очевидно, что задать непрерывную случайную величину с помощью закона распределения невозможно, требуется либо функция распределения, либо плотность распределения. Плотностью совместного распределения вероятностей f(x,y) двумерной непрерывной случайной величины (X,Y) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения: . Эту функцию можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (со сторонами ) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю.

Зная плотность совместного распределения f(x,y) можно найти функцию распределения F(x,y) по формуле. (2)

Пример 3. Найти функцию распределения двумерной случайной величины по данной плотности совместного распределения .

Решение. Воспользуемся формулой (2), получим

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область.

Для того, чтобы вычислить вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D, достаточно найти двойной интеграл по области D от функции f(x,y). (3)

Геометрически равенство (3) можно истолковать так: вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D равна объему тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y), основанием которого служит проекция этой поверхности на плоскость xOy.

Пример 4. Плотность распределения двумерной случайной величины . Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами К(1,1),М(1,0),.

Решение. Искомая вероятность

Свойства двумерной плотности вероятности.

Свойство 1: Двумерная плотность вероятности неотрицательна:

Свойство 2: Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице: .

Отдельным вопросом стоит изучение характера связи между случайными величинами, входящими в систему. Относительно этой связи имеется, в принципе, три возможности.

1) Первая возможность: величины X и Y независимы друг от друга. Это значит, что каждая из этих величин принимает свои значения независимо от значений, принимаемых другой случайной величиной.

2) Вторая возможность - обратная первой: величины Х и Y связаны жесткой (функциональной) зависимостью, т.е. зависимостью вида Y =. В этом случае каждому возможному значению величины Y соответствуют вполне определенное значение y =величины Y. То есть возможные значения величины Y жестко привязаны к возможным значениям величины X.

3) Третья возможность - промежуточная между первыми двумя: Х и Y в принципе связаны между собой (независимыми они не являются), но эта связь не жёсткая (размытая). Это значит, что каждому возможному значению х величины Х могут соответствовать различные значения (у; у;...) величины Y, причём набор этих значений и (или) их вероятности меняются с изменением значения х. Такого рода связь между случайными величинами называются статистической (или вероятностной) связью. Статистическая связь между случайными величинами X и Y означает, что изменение значения одной из них ведет к изменению внешних условий для реализации другой величины. Например, меняющаяся среднесуточная температура статистически влияет на плотность сельскохозяйственных вредителей на засеянном поле; объем денежной массы у покупателей статистически влияет на объем закупаемых ими товаров, и т.д.

Если при статистической связи между случайными величинами X и Y при изменении значения х величины X еще и меняется среднее значение величины Y, то говорят, что Y корреляционно (в среднем) зависит от X. Аналогично понимается корреляционная зависимость X от Y. В частности, очевидно, что между температурой X воздуха и количеством Y вредителей имеет место не просто статистическая, а корреляционная зависимость, ибо с изменением температуры изменяется и среднее количество сельскохозяйственных вредителей. Аналогично между количеством X денег у покупателей и их тратами Y на покупку товаров тоже имеется, очевидно, корреляционная зависимость, ибо чем больше денег у покупателей, тем больше в среднем они покупают. Корреляционно (в среднем) связаны также урожайность различных культур с количеством внесенных под них удобрений, производительность труда рабочих с их квалификацией, и т.д.

Рассмотрим корреляционную связь между случайными величинами X и Y подробнее. Пусть - среднее значение тех значений у величины Y, которые соответствуют данному значению x величины X. Оно же - условное математическое ожидание величины Y при X=x:

(4)

Так как каждому возможному значению x величины X будет соответствовать единственное значение , то это значение является функцией от x:

(5)

Если меняется с изменением x, то есть если , то между X и Y имеется корреляционная связь – Y корреляционно (в среднем) зависит от X. А если , то Y корреляционно от X не зависит. В последнем случае Y либо вообще не зависит от X, либо зависит, но лишь сугубо статистически.

Функциональная зависимость (5) называется уравнением регрессии Y на X, а график этой зависимости – линией регрессии Y на X (рис 2):

Линия регрессии Y на X наглядно показывает, как в среднем меняется случайная величина Y при изменении случайной величины X. Точки вокруг линии регрессии символизируют разброс возможных значений y величины Y вокруг линии регрессии . Именно из этих значений y для каждого x должно быть найдено их среднее значение .

Аналогично зависимость вида называется уравнением регрессии X на Y, а ее график – линией регрессии X на Y (рис 3).

Линия регрессии X на Y показывает, как в среднем меняется X при изменении Y.

Самой простой случай (и наиболее часто встречающийся на практике) – это когда функция или линейна, то есть когда её график – прямая линия. В этом случае корреляционная зависимость Y от X и соответственно корреляционная зависимость X от Y называется линейной, в противном случае – нелинейной.

В теории корреляции решаются две основные задачи:

Первая задача теории корреляции - нахождение уравнения регрессии, то есть нахождение зависимости между значениями одной случайной величины и соответствующими им средними значениями другой случайной величины.

Вторая задача теории корреляции – оценка тесноты изучаемой корреляционной зависимости. В частности, теснота корреляционной зависимости Y от Х оценивается по степени рассеяния значений (у; у;....) величины Y (рис.2) вокруг линии регрессии . Большое рассеяние свидетельствует о слабой корреляционной зависимости Y от Х. Наоборот, малое рассеяние указывает на наличие достаточно сильной (тесной) корреляционной зависимости. Возможно даже, что Y зависит от Х функционально, то есть жёстко, но из-за второстепенных случайных факторов или просто из-за погрешностей измерений эта зависимость оказалась несколько размытой.

Те же задачи, естественно, стоят, если исследуется корреляционная зависимость X от Y.

Наиболее просто решаются обе эти задачи при наличии линейной корреляционной зависимости одной случайной величины от другой. И здесь важную роль играет так называемый корреляционный момент или, что одно и то же, ковариация случайных величин Х и Y, которые определяются как математическое ожидание произведения отклонений Х и Y от их математических ожиданий:

(6)

Их можно преобразовать к виду (проделайте это самостоятельно):

(7)

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу , а для непрерывных величин – формулу .

Как известно, у независимых случайных величин Х и Y, как у дискретных, так и у непрерывных, . А значит, для независимых случайных величин

(8)

Поэтому если , то это автоматически указывает на зависимость случайных величин Х и Y друг от друга.

Отметим, что обратное, вообще говоря, неверно: из того, что корреляционный момент , ещё нельзя сделать вывод, что Х и Y независимы. Они могут быть зависимы, причём даже функционально. Например, если распределение величины Х симметрично относительно точки х =0, так что автоматически и , а - функция от Х, то на основании (7) получаем:

И это несмотря на то, что Х и Y связаны функциональной зависимостью

Случайные величины, для которых , называются линейно некоррелированными. Независимые величины всегда линейно некоррелированы. Но линейно некоррелированные величины могут быть, как мы только что видели, как зависимыми, так и независимыми. Линейно коррелированные же величины (для них ) всегда зависимы.

Кстати, если случайные величины X и Y распределены нормально, то можно доказать (на этом не останавливаемся), что их линейная некоррелированность равнозначна их независимости. Для других же величин Х и Y это не обязательно одно и тоже.

Отметим, что корреляционный момент обладает одним существенным недостатком: он зависит от единиц измерения величин X и Y. Поэтому на практике вместо него часто используется безразмерная величина,

(9)

которая называется коэффициентом линейной корреляции. Он играет, как мы увидим ниже, большую роль при решении обеих задач теории корреляции в случае линейной корреляционной зависимости между случайными величинами.

Корреляционный момент и коэффициент линейной корреляции равны или не равны нулю одновременно. Поэтому линейную коррелированность и линейную некоррелированность случайных величин X и Y можно устанавливать и по равенству или неравенству нулю коэффициента линейной корреляции .

Так как, согласно (7), , то и

= (10)

Коэффициент линейной корреляции обладает еще одним важным свойством: он не изменится, если от X и Y перейти к безразмерным нормированным случайным величинам

(11)

То есть

= (12)

Нормированными случайными величинами и называются потому, что их математические ожидания равны нулю, а средние квадратические отклонения равны единице:

()=()= (13)

Равенства (13) легко доказываются с помощью свойств математического ожидания и дисперсии, которые справедливы как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин (проделайте это самостоятельно). Ну, а то, что=, уже вытекает из (6), (7), (9), (11) и (13):

Для дальнейшего рассмотрения свойств коэффициента линейной корреляции случайных величин X и Y найдем дисперсию их суммы X+Y и разности X-Y. Если величина X и Y независимы, то такая формула уже получена:

(14)

Причем эта формула верна как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. А если X и Y зависимы (функционально или статистически), то соответствующая формула имеет вид:

(15)

Действительно:

В частности, для нормированных случайных величин формула (15) примет вид:

(16)

А так как, по смыслу дисперсии, , то из (16) получаем:

(17)

И так как, согласно (12), ) = , то для любых случайных величин Х и Y получаем следующий вывод:

(18)

Если коэффициент линейной корреляции , то он характеризует не только наличие зависимости (связи) между Х и Y. Своей величиной, как мы это сейчас увидим, он характеризует и тесноту этой связи. Однако не любой, а лишь линейной корреляционной связимежду Х и Y. Отсюда и его название – коэффициент линейной корреляции. Максимальная теснота этой связи соответствует случаям, когда = . При этом между Х и Y имеет место жёсткая функциональная связь, причём связь непременно линейная: .

Действительно, при = и )=, а тогда из (16) вытекает, что имеет место одно из двух равенств: или , или . Но дисперсия случайной величины равна нулю, если только эта случайная величина является константой. То есть или , или . Заметим, что в обоих случаях константа , ибо на основании (13) получаем:

Итак, при = либо , либо . А отсюда уже, согласно связи (11) с , следует подтверждение того, что в обоих случаях величины Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью вида .

Верно и обратное: если случайные величины Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью , то их коэффициент линейной корреляции равен либо 1, либо -1.

Докажем это. Действительно, если , то согласно (11) и свойств математического ожидания и дисперсии получаем:

; =

=.

А тогда

Таким образом, коэффициент линейной корреляции есть показатель того, насколько зависимость между случайными величинами X и Y близка к строгой линейной зависимости . Его малость (удаленность от может означать одно из двух: или малую тесноту (большое рассеяние) линейной корреляционной связи между X и Y, или существенную нелинейность этой связи, которая, кстати, может быть весьма тесной.

Сформулируем это утверждение более определенно. Найдем такие числовые коэффициенты k и b, чтобы линейная функция кX+b случайной величины X наилучшим образом приближала случайную величину Y. Для этого представим Y в виде

Y=кX+b+Z (19) Случайную величину Z можно рассматривать как ошибку приближения величины Y линейной функцией Y=кX+b. Эту ошибку естественно считать минимальной, если потребовать, чтобы математическое ожидание и дисперсия была минимальной. Первое из этих требований дает:

(20)

С учетом найденного значения b и (19) ошибка Z примет вид:

Теперь вычислим – дисперсию величины Z:

=

Первое из полученных слагаемых неотрицательно и не зависит от параметра k. Таким образом, дисперсия ошибки Z будет минимальной при том значении k, которое обеспечит обращение в нуль второго слагаемого. То есть при

(21)

При этом дисперсия (её минимальное значение) примет вид:

(22)

Итак, вывод: наилучшее приближение случайной величины Y линейной функцией кX+b случайной величины Х будет иметь место при значениях k и b, определяемых формулами (21) и (20). То есть такое приближение будет иметь вид:

(23)

Ошибка Z этого линейного приближения величины Y имеет математическое ожидание (среднее значение), равное нулю. А дисперсия этой ошибки определяется формулой (22).

Если , то дисперсия ошибки . А это, с учетом равенства означает, что . То есть при в равенстве (23) ошибки нет и оно является точным. Но чем больше удален коэффициент линейной корреляции от , то есть чем ближе он к нулю, тем больше становится дисперсия ошибки Z, а вместе с ней тем больше становится и сама ошибка Z приближения (23). При эта ошибка становится максимально возможной, а само приближение (23) принимает вид и перестаёт, таким образом, зависеть от X. То есть при =0 линейная зависимость Y от X отсутствует. Это значит, что или между случайными величинами X и Y вообще нет никакой связи, или они связаны, но какой-то нелинейной связью (функциональной или статистической).

Кстати, так как наилучшим приближением случайной величины Y при X=x является, очевидно, условная средняя , то из (23) сразу вытекает наилучшее линейное приближение уравнения регрессии величины Y на величину X. Для его получения нужно в (23) заменить X на x и Y на . В итоге получим:

(24)

Здесь

(25)

Полученное простое линейное уравнение (24) используют на практике для приближенной замены истинного уравнения регрессии , если линия регрессии близка к прямой. Если же она сильно отличается от прямой (как на рис. 2), то его тоже можно использовать, только не на всем интервале (а; b) возможных значений величины X, а на коротких частях этого интервала, на которых линию регрессии можно приближенно считать прямой.

При приближенное линейное уравнение (24) становится точным. То есть становится истинным уравнением регрессии Y на X. Более того, при этом превращается просто в y – в единственное значение Y при X=x. Это происходит потому, что при становится точным равенство (23). А это значит, что каждому значению x величины X будет соответствовать единственное значение y величины Y. И, таким образом, будет . Линия регрессии (см. рис.2) станет прямой, и никакого разброса вокруг неё точек, изображающих возможные значения величины Y, не будет – все они окажутся на этой прямой.

Но если , то по мере удаления его значения от 1 истинная линия регрессии или искривляется, или остается прямой, но вокруг нее появляется облако точек, причем тем более широкое, чем ближе к нулю. Или одновременно и линия регрессии искривляется, и облако точек вокруг нее расширяется. При близком к нулю или тем более равном нулю нельзя даже приближено считать величины X и Y связанными линейной корреляционной зависимостью. Связь между этими линейно некоррелированными (или слабо линейно коррелированными) случайными величинами будет или отсутствовать вообще, или будет существенно нелинейной. То есть в этом случае полученные выше формулы (23) и (24) приближенного линейного выражения одной величины (Y) через другую величину (Х) применять нельзя - они могут давать слишком грубое приближение. Тут требуется дополнительное исследование характера связи между такого рода слабо линейно коррелированными случайными величинами X и Y, которое мы проведем ниже.

Перейдем к этому исследованию. То есть поставим вопрос об оценке тесноты любой, а не только линейной, корреляционной связи между случайными величинами X и Y.

Итак, допустим, что корреляционная связь между случайными величинами X и Y есть, и эта связь заведомо нелинейная (квадратичная, экспоненциальная, логарифмическая, и т. д.). Это значит, что уравнение регрессии Y на Х таково, что и при этом . То есть линия регрессии Y на Х – кривая линия (рис. 2). Для оценки тесноты такой криволинейной корреляционной связи между X и Y коэффициент линейной корреляции , который будет близок к нулю, не годится. В этом случае указанною тесноту оценивают с помощью так называемого корреляционного отношения.

Чтобы ввести это понятие, рассмотрим случайную величину , которая является функцией величины Х и которая при Х = х принимает среднее значение величины Y. Математическое ожидание величины совпадает с математическим ожиданием (средним значением ) величины Y:

(26)

А дисперсия величины составляет лишь часть дисперсии величины Y:

(27)

При доказательстве равенств (26) и (27) ограничимся случаем, когда X и Y – дискретные случайные величины.

Итак, пусть X и Y – зависимые дискретные случайные величины, а таблица (28) – закон их совместного распределения:

X Y	х	х	............	х	q	(28)
y	p	p	............	p	q
y	p	p	............	p	q
.......	.......	.......	............	.......	.......
y	p	p	............	p	q
pi	p	p	............	p

Здесь (x, x,… x) и (y, y,…y) – возможные значения величин X и Y соответственно, а - вероятности того, что в результате испытания парой случайных величин будет принята пара значений . Кстати, сумма всех вероятностей , как сумма вероятностей событий, составляющих полную группу событий, должна равняться единице:

(29)

Действительно, события, состоящие в том, что , являются несовместными. Причем одно из них обязательно произойдет. То есть эти события действительно образуют полную группу событий.

В последней строке таблицы (28) просуммированы вероятности по строкам (внутри каждого столбца). А в последнем столбце этой таблицы просуммированы вероятности по столбцам (внутри каждой строки):

(30)

Вероятности - это, очевидно, вероятности значений величины X, а вероятности - это вероятности значений величины Y. То есть на базе закона совместного распределения случайных величин X и Y можно записать и законы распределения каждой из этих величин в отдельности:

			…						…		(31)
			…					…

Среднее значение величины Y для каждого возможного значения величины Y следует находить по формуле:

(32)

Действительно, согласно (4)

(33)

То есть - это условное математическое ожидание величины Y при X =. А следовательно, оно должно быть найдено как сумма произведений значений величины Y на соответствующее им вероятности этих значений при условии, что X =. То есть

(34)

А условные вероятности можно найти из формулы вероятности произведения двух зависимых событий:

(35)

Из формул (34) и (35) и следует формула (32).

Подсчитав значения , можем составить и закон распределения случайной величины :

			…		(36)
			…

(вероятности значений величины те же, что и вероятности значений величины X).

Ну, а теперь можем перейти к доказательству равенств (26) и (27). Сначала докажем (26):

(37)

Равенство (26) доказано.

Для доказательства равенства (27) образует случайную величину и запишем закон её распределения:

		(38)

Математическое ожидание этой случайной величины равно нулю - это следует из (26). Покажем ещё, что

(39)

Закон распределения случайной величины имеет вид:

		(40)

Отсюда следует:

=

= = . (41)

А теперь, опираясь на доказанные равенства (6.24) и (6.37), можно доказать и равенство (27):

Равенство (27) доказано. Это равенство дает разложение общей дисперсии зависимой от X случайной величины Y на сумму двух слагаемых: дисперсии функции и среднего квадрата отклонения Y от этой функции. Иначе говоря, общий разброс значений у величины Y вокруг её среднего значения складывается из разброса значений величины вокруг того же , и разброса значений у вокруг . То есть формула (27) раскладывает общий разброс всех возможных значений y величины Y вокруг её математического ожидания на разброс вокруг точек кривой регрессии, и на разброс значений у (облака точек, изображающих значения y) вокруг кривой регрессии

Введем теперь отношение

(42)

которое будет называть корреляционным отношением Y к X. Очевидно, что всегда

(43)

Из определения следует, что =0 при , то есть при условии, что =Const. Причем эта константа, естественно, равна . Но тогда уравнение регрессии Y на X имеет вид =и, следовательно, случайная величина Y не зависит корреляционно (в среднем) от величины X. А если , то в этом случае из (42) следует, что =0, откуда вытекает, что . То есть при случайные величины X и Y связаны жесткой функциональной зависимостью , причем Const.

Из сказанного следует, что чем ближе корреляционное отношение к единице, тем ближе корреляционная зависимость Y от X к функциональной зависимости. А это значит, тем эта корреляционная зависимость теснее. Наоборот, чем ближе к нулю, тем она слабее.

Таким образом, корреляционное отношение случайной величины Y к случайной величине X является мерой и наличия, и тесноты любой (а не только линейной) корреляционной зависимости величины Y от величины X.

Естественно, можно ввести в рассмотрение и корреляционное отношение величины X к величине Y.

(44)

которое оценивает наличие и тесноту корреляционной зависимости величины X от Y, где - уравнение регрессии X на Y.

Отметим, что в отличие от коэффициента линейной корреляции, которой симметричен относительно X и Y (), корреляционное отношение таким свойством, судя по (42) и (44), не обладает:

(45)

Можно еще доказать, что всегда

(46)

При этом в случае равенства

(47)

имеет место точная линейная корреляционная зависимость Y от X. Это значит, что при условии (49) приближенное уравнение регрессии (24) Y на X становится точным.

Аналогично в случае

(48)

становится точным соответствующее уравнение регрессии X на Y.

Пример 4. Дискретные случайные величины X и Y заданы следующим законом их совместного распределения:

X Y
	0,10	0,16	0,18	0,44
	0,06	0,20	0,30	0,56
	0,16	0,36	0,48

Требуется:

1) Найти коэффициент линейной корреляции .

2) Найти корреляционное отношение .

3) Построить линию регрессии величины Y на величину X.

Решение. Запишем сначала законы распределения величин X и Y по отдельности:

X					Y
р	0,16	0,36	0,48	р	0,44	0,56

Отсюда, в частности, следует (получите это самостоятельно):

;

Теперь найдем . Для этого, согласно (6.7), предварительно нужно найти корреляционный момент . Его найдем по формуле (7), используя совместный закон распределения (таблицу) величины Х и Y:

Тогда:

Величина . Таким образом, величины X и Y линейно коррелированы, а значит и зависимы. Вместе с тем величина невелика (она гораздо ближе к нулю, чем к 1 или к -1). Поэтому корреляционная зависимость Y от Х или слабая, или существенно нелинейная, или то и другое вместе.

Чтобы лучше выяснить этот вопрос, подсчитаем корреляционное отношение величины Y к величине Х. Для этого сначала для каждого значения х величины Х подсчитаем среднее значение величины Y. Используя формулы (32), получим:

Полученные данные позволяют записать таблицу вида (36) - закон распределения функции случайной величины Х:

	0,375	0,556	0,625
р	0,16	0,36	0,48

Из этой таблицы находим:

=.

Величина оказалась большей, чем - так и должно, согласно (46), быть. Однако и она невелика, что свидетельствует о малой тесноте корреляционной зависимости Y и X. А так как различие между и незначительное, то корреляционная зависимость Y от X близка к линейной.

Этот вывод должна подтвердить линия регрессии . Ее следует строить по трем точкам:

	0,375	0,556	0,625

Как легко убедиться, ломаная, соединяющая эти три точки, действительна близка к прямой линии.

Дата добавления: 2013-12-13