Анализ продуктивности модели Леонтьева

Продуктивность модели Леонтьева полностью определяется величиной собственного числа λ_A матрицы А коэффициентов прямых затрат.

Теорема 3. Модель Леонтьева (2.1) продуктивна тогда и только тогда, когда λ_A < 1. Достаточность. Поскольку AX = λ_AX, то Учитывая, что X>0, получаем, что

Рассмотрим равенство

Поскольку предел при k → ∞ правой части существует, то существует предел и левой части, т. е.

Этим доказано, что ряд сходится, а матрица E – А невырождена. Получаем формулу суммы геометрической прогрессии:

Поскольку А_k ≥ 0, k = 1, 2,..., то ≥ 0, из чего непосредственно вытекает, что для любого вектора конечного спроса Y ≥ 0 существует неотрицательное решение системы уравнений (2.3):

, (2.14)

что и означает продуктивность модели Леонтьева.

Необходимость. Пусть модель Леонтьева продуктивна. Возьмем в качестве вектора КП Y в уравнении (2.1) произвольный положительный вектор Y > 0. По предположению о продуктивности существует вектор X ≥ 0 такой, что

X – АX^T = Y, т.е. X > АX^T ≥ 0. Умножая последнее неравенство скалярно на вектор строку цен p_A > 0, имеем p_A X > p_A АX^T = p_A λ_AX^T. Поскольку p_AX^T>0, получаем λ_A< 1. Теорема доказана.

Теорема 3 дает возможность проверять модель Леонтьева на продуктивность, однако ее формулировка абстрактна и далека от экономических интерпретаций. Сформулируем без доказательства достаточный признак продуктивности модели Леонтьева, наиболее удобный для проверки продуктивности матрицы межотраслевого баланса в натурально-стоимостной форме.

Если матрица А неотрицательна и неразложима, сумма элементов каждой строки не больше 1 и хотя бы для одной строки строго меньше 1, то модель Леонтьева, определяемая матрицей А, продуктивна.

Если матрица А неотрицательна и неразложима, сумма элементов каждой строки не больше 1 и хотя бы для одной строки строго меньше 1, то модель Леонтьева, определяемая матрицей А, продуктивна.

Очевидно, что условие r_i ≤ 1, i == 1, 2,..., п, весьма естественно – оно означает, что i -я отрасль способна удовлетворить запросы всех отраслей. Вместе с тем простые примеры показывают, что одного этого условия недостаточно; так, матрица не является продуктивной.

Таким образом, если модель Леонтьева продуктивна, то вектор валового выпуска, который необходим для удовлетворения конечного спроса Y, определяется формулой (2.14).

Дата добавления: 2013-12-13